这是先前发表的另一篇文章《数学课程改革：何去何从》[1]（以下简称“文[1]”）的姊妹篇。本文以国际上的相关研究为背景对我国数学课程改革的相关问题进行了分析，特别是，与文[1]所论及的各个问题相比，这一分析可以说直接涉及到了新一轮课程改革的基本立场或基本立足点，并从理论和实践这两个层面对如何更深入地开展课程改革提出了建设性的意见。
一、关于课程改革基本立场的必要反思
正如文[1]所提及的，新一轮数学课程改革的一个主要贡献是：极大地促进了诸多新教育理念的普及以及对相关传统理念的自觉反思与深入批判。例如，如果现在随意地去问一线教师：“对于学生的学习活动较为有利的学习环境是什么？”我想大多数教师都会列举出这样的几个方面：（1）以学生为中心；（2）有意义学习；（3）较小的班级规模；（4）鼓励性的学习气氛；（5）高层次的教学目标；（6）适当的评估方法，等等。但是，我国数学教育的现实状况在很大程度上是与上述的分析直接相对立的：教师在教学中起着绝对的支配作用，教学中特别强调记忆和反复练习；班级规模较大，学生和教师又都处于考试的高压之下，等等。因此，在很多人看来，这也就十分清楚地说明了积极实施数学课程改革、特别是根本性变革的必要性和紧迫性：“我国的数学教学将迎来一次重大变革……新数学课程标准不能在老标准基础上做些修修补补，而应当是一次根本性的变革。”[2]又，“全国1300万教师需要改变教育方式，3亿学生需要改变学习方法，6亿以上的家长需要改变帮助孩子们学习的做法”。[3]
上述说法尽管有一定的合理性，但是，在此又有必要点明这样一个事实：上述关于我国数学教育现实情况的分析事实上与西方对于我国数学教育的传统评价是十分一致的——在很长时期内，西方数学教育界的同行就是因为同样的原因对中国（乃至东亚各国）的数学教育采取了完全否定与严厉批判的态度。
然而，一些新的研究成果,特别是近年来所举行的多次大型的国际测试（IAEP、TIMSS、PISA）却促使西方数学教育界对上述传统观念进行深刻反思：与西方各国相比，东亚各国的学生在这些测试中为什么普遍取得了较好的成绩。这也就是所谓的“中国学习者悖论”：一种较为落后的数学教学怎么可能产生较好的学习结果？
事实上，面对这一悖论仍然存在两种可能的立场：第一，认为那些测试并不能如实反映学生的情况，从而，我们就不能因为东亚各国的学生在这些测试中取得了较好的成绩就断言东亚的数学教育更成功，从而也就清楚地表明了对于测试方法（更为一般地说，就是考核方法）进行重大改革的必要性和重要性。显然，这一呼声也是与我国新一轮数学课程改革中对于考核方法变革的普遍关注直接相对应的。第二，认为有必要对过去的传统观念做出认真反思，特别是，应深入地研究中国（东亚）的教育教学是否也包含一定的合理成分，而且正是这些合理成分导致了所说的较好结果。
具体地说，正是后一立场为20世纪90年代以来在国际范围内兴起的数学教育的国际比较研究提供了重要动力，并直接促成了关于中国数学教育（学）的深入研究：“中国人（华人）是如何学习数学的？”这样的研究显然具有十分重要的意义，特别是，这就十分清楚地表明：中国（东亚）的数学教育确实包含一定的合理成分，从而，西方的传统观念就应当看成一种“误解”或“曲解”。显然，从这样的角度去分析，我国新一轮数学课程改革也就存在着一个明显不足之处，即未能给予优秀传统的继承以足够的重视。特别是，如果我们只是盲目地去推崇西方的“先进理念”并因此对自己的传统采取彻底否定的态度，则就不能不说是一种完全错误的立场。需要指出的是，香港大学的梁贯成先生基于相关的国际测试（TIMSS）曾就此对内陆同行提出了一个忠告：“面对国际课程改革的趋势，我们面对的一种危险是落后于其他国家，进而在越来越激烈的全球经济竞争中落败。但是，另一种危险是我们简单地跟随国际潮流，结果丢掉了我们自己的优点。在我们的文化中，长期存在的弱点需要巨大的勇气来改变。但是，我们需要更大的勇气来抵制那些在‘发达’国家中正在发生的变化，并且坚持一些传统价值来保持我们的优点。最为困难的是区别什么应该改变，而什么又不应改变！” [4]
由此看来，我国数学教育界当前面临着一项十分紧迫而重要的任务，即应当对我国在数学教育和数学教学方面的优秀传统做出认真总结。这也就是所谓的“中国数学教育（学）的界定”。当然，我们在这一方面又不应固步自封、盲目自大，而应当对相关传统做出必要的反思（包括批判）与发展，从而不仅可以更好地满足社会的要求，也可以通过克服原有的局限性达到新的更高的发展水平。总的来说，我们所面临的任务就是“中国数学教育（学）的界定与建设”。
对于上述的分析，相信大多数读者都会持赞同的态度。但是，仔细想来，我们显然又应提出这样的问题：除了“（其中）也包含有一定的合理成分”这样一个十分笼统的断言外，我们究竟应如何去对我国的数学教育（学）传统做出总体性的评价？进而，由于先前的否定性评价主要是依据与西方现代教育理论进行对照做出的，因此，在此显然也存在这样的问题：我们究竟又应如何去看待所谓的西方现代教育理论？应当强调的是，由于这两个问题直接涉及到了新一轮课程改革的基本立场，因此，与文[1]所提及的各个具体问题（难点的清楚界定与解决，对于教学方法改革中形式主义倾向的超越，改革中新出现问题的发现与解决，等等）相比，上述的问题也就有着更大的重要性。特别是，如果我们未能很好地解决在西方现代教育理论与中国数学教育（学）传统之间所存在的“直接矛盾”，那么，不仅所谓的“在积极实施课程改革的同时也应十分注意对于优秀传统的继承”[5]就只是一句空话，上述的各个具体问题也不可能在正确的基础上得到很好的解决。从而，总的来说，关系到数学课程改革深入发展的一个关键问题是，应当对课程改革的基本立场或基本立足点做出更为深入的思考或反思。
二、是“两极对立”，还是必要的平衡
……
三、积极的渗透与整合
……
四、路在脚下：寄语广大的一线教师与各级教研员
以下再联系一线教师与各级教研员的实际工作对本文的基本主张做出进一步的说明。
毋庸讳言，自2001年展开的新一轮数学课程改革现已进入了一个新的发展阶段，对此有些同志曾十分形象地形容课程改革进入了一个新的“反思阶段”。另外，就身居教学一线的广大教师和教研员而言，则又有更多的同志提出了这样的困惑：我们究竟应当如何去从事数学教学？特别是，数学课程改革究竟何去何从？也正是由于后一原因，人们现今就对处于进一步修订之中的《数学课程标准》表现出了更大的期待与期望，即希望经过修订的《数学课程标准》能给人们解决所面临的种种困惑与疑难。
然而，笔者在这一问题上却有这样一个基本想法：由于课程改革的创造性与困难性，更由于教学活动的实践性与复杂性，要想在短期内研制出一个十全十美的《数学课程标准》（包括进而编写出一套尽善尽美的数学教材）恐怕是不切实际的。因此，广大的一线教师与各级教研员应当采取这样一种“积极参与”的立场，即不要唯一地期望由别人来告诉自己应当如何去解决所面临的种种困难或疑虑，而应通过自身的教学实践与深入的教学研究（包括总结与反思）不断地去发现问题、解决问题，从而也就能够不断取得新的进步。这也就是说，路就在自己的脚下！
为了更清楚地说明问题，在此还可联系笔者近期所参加的一些教学观摩活动对此做出进一步的分析。具体地说，尽管自课程改革开展以来，教学观摩一直得到了广泛的应用与普遍的欢迎,但是，与课程改革初期所举行的此类活动相比，人们现今似乎更多地具有一种不满足的感觉。笔者以为，这种变化在很大程度上可看成一种进步，而这又不仅是指观课教师与上课教师之间的距离现已大大地缩短了，而且更是指大部分观课教师在现今所采取的已不再是单纯的“学习态度”，而是更多地采用了审视甚至是批判的眼光——显然，相对于前者而言，后一立场当然是更为正确的。
也正是从这样的角度去分析，笔者以为，如下的建议事实上也就可以看成文[1]中所说的“发现问题，解决问题，不断前进”这一立场的一个具体体现：无论是一线教师还是各级教研员，在参加了这样的教学观摩活动之后，都应深入地去思考这样一个问题：现今的观摩课与课改初期的观摩课有什么相同之处与不同之处？它们与课改前的一些经典课又有什么异同？显然，只有通过这样的思考与研究，我们才能真正弄清这些年来我们究竟取得了哪些进步或成绩，又有什么不足之处或问题，而后者显然也就为课程改革的深入发展指明了努力的方向。
例如，只需稍做思考，我们就可发现，有些课题（如“可能性”、“长方形的面积”、“圆的认识”、“钟表的认识”等）自课改以来已经无数次地被选做观摩课的教学内容。当然，这一做法本身无可厚非。但是，如果同样的课题在若干年后又始终只是在同一水平上重复（有时甚至还表现出了一定的倒退），则就只能说是研究工作的缺乏与发展的停顿。
进而，笔者认为，以下又可以看成深入开展相关的教学研究工作的关键所在，即不应停留于每一堂课的特殊内容或实际教学方法的分析与评价，而应努力做到“小中见大”，也即应当努力超越对象的特殊性而从更为一般的角度去提出问题与思考问题。例如，就“生活中的负数”这样的课而言，我们应看到它从属于“概念教学”的范围，从而，教学中的一个关键因素也就在于如何能够清楚地指明引入相关概念（包括相应的符号）的必要性与合理性。另外，所有那些突出强调“生活中的……”的课的一个共同难点就在于，应当如何去处理“生活数学”与“课堂数学”的关系，特别是，我们应在多大程度上超越实际生活并上升到抽象的高度。再例如，与上述的课不同，“长方形的面积”显然属于法则的学习，从而，教学中的主要矛盾也就在于如何能够避免“机械学习”（包括机械记忆与单纯的模仿）并真正做到“理解学习”；进而，这一题材的学习也体现了数学思维的如下重要特点：我们必须超越实际运作的水平而用思维去把握对象，这也就是通常所谓的“内化”。
就实际的教学活动与教研工作而言，以下则又可以看成本文所倡导的基本立场的一个具体体现，即应当努力做好“课改新理念”与“数学教育（学）传统”这两者间的适当平衡与相互渗透。具体地说，由各种观摩课我们即可清楚地看出，自课程改革以来，一些新的教育理念或教学思想已经深入人心并得到了广泛的应用，如对于学生参与、动手实践、合作学习的高度重视等；但是，作为问题的另一方面，我们显然又应清楚地认识到我国的数学教育（学）传统也有很多有价值的东西值得我们认真地去继承，如课堂教学的高效性、教师对于课堂的驾驭能力，课堂提问与例题的精心设计等。从而，这事实上也就可以看成进一步工作的前进方向，即应当努力做好“课改新理念”与“数学教育（学）传统”的必要平衡与相互渗透，而不应采取绝对化与片面性的立场。
也正是基于这样的考虑，笔者愿对年轻教师的成长提出自己的一些想法。
具体地说，新一轮数学课程改革无疑为年轻教师的成长提供了一个十分有利的平台，这一点由年轻教师在各类观摩课或教学比赛中所占的比例就可清楚地看出。年轻教师的迅速成长当然是一件好事，但是，在感到欣喜的同时我们又应清醒地看到其中也可能存在一定的隐患甚至是危机。例如，就承担各种观摩课的年轻教师而言，他们往往表现出了很好的“表演”（或者说“演绎”）才能；相对而言，对于教学内容和教学方法却又往往缺乏自己的独立思考与分析，更不能说已经达到了深刻的理解。另外，一些同志又多少表现出了急功近利的倾向，与此直接相对照的则是基本功的不足，或者说专业素养的缺乏。基于本文的主题，笔者在此愿特别强调这样一点：如果说在年轻教师的身上我们即可清楚地看到课程改革的影响，那么，对于优秀传统很好的继承则就不能不说是年轻教师亟待加强的一个方面。特别是，我们应切实加强学习（包括理论学习以及向老教师们学习），从而才能真正做到对教学内容（数学知识）的深刻理解，包括逐步建立起关于特定题材内容的教学法知识。应当指出的是，这里所说的“对教学内容（数学知识）的深刻理解”事实上也就是国际同行经过比较研究而得出的一条结论，即与美国同行相比，中国的数学教师一个主要的优点就是对于所教学的内容有着更为深刻的理解。另外，这也正是国际数学教育界的一个共识，即我们应当更加重视由一般的教学法知识向特定题材内容的教学法知识的转化（从而，我们也就不应盲目地去追求某种普适的教学方法或模式），并且应当把后者看成教师“专业基础知识”的一项重要内容。
容易看出，以上的分析事实上也就十分清楚地表明了这样一点：路在脚下，但这绝非某种可以一步登天的捷径，而是一条需要付出艰苦努力甚至是毕生精力的漫漫长路。
“吾将上下而求索”——但愿这也能成为我国数学教育工作者的共同努力！笔者深深地相信：只要我们在“课改新理念”与“中国数学教育（学）传统”的必要互补与相互渗透这一方面做出切实的努力，就不仅可以促使我国的数学课程改革更加健康地发展，这也将是中国数学教育工作者对数学教育这一人类共同事业的重要贡献。
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