三角形中线一条性质的探究、应用与拓展

 

性质：平行于三角形一边的直线被另两边（或另两边的延长线）所截得的线段被这边上的中线（或其延长线）平分。

如图，△ABC中，AD平分BC，EF∥BC，求证：AD平分EF.

证明：

∵EF∥BC

∴EG∶BD=AG∶AD；FG∶CD=AG∶AD

∴EG∶BD= FG∶CD

∵BD=CD

∴EG = FG.

结论得证.我们不妨将该结论称为“三角形中线性质定理”.

这条性质的运用，现举例如下：

例1. △ABC中，DE∥BC，CD交BE于F，求证：AF平分DE和BC.

分析：根据

“三角形中线性质定理”，结论中只需证得其一，即可得其二.

证明：过B作BG∥DC，交AF延长线于点G，连CG.

∵BG∥DC，DE∥BC

∴AD∶AB=AF∶AG；AD∶AB =AE∶AC

∴AF∶AG =AE∶AC\

∴CG∥BE

∴BGCF为平行四边形

∴BN=CN

∵DE∥BC

∴DM=EM.

例2 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，M、N分别为AD、BC的中点，求证：MN= 1/2(BC-AD).

证明：延长

BA、CD交于点E，连接EN.

∵BN=CN，AD∥BC，

据“三角形中线性质定理”，EN平分AD，即EN过点M.

∵∠B+∠C=90°，

∴EN=1/2BC.

同理，Rt△EAD中，EM=1/2AD.

∴MN=1/2(BC-AD).

例3 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E为CD中点，AE延长线交BC于点F，FG⊥AB于G，求证：FG²=FC·FB.

证明：延长

GF与AC延长线交于点H.

∵CD⊥AB，FG⊥AB

∴CD∥FG

∵CE=DE

∴FG=FH

∵∠ACB=90°

∴∠HCF=∠FGB=90°

∵∠HFC=∠BFG

∴△HFC∽△BFG

∴FG∶FC=FB∶FH

∴FG·FH =FC·FB

∴FG²=FC·FB.

显然，利用比例性质，以上“三角形中线性质定理”可作如下推广(如图所示)：

1. △ABC中，EF∥BC，若BD∶DC=k，则EG∶FG=k (如图1).

2．△ABC中，GH∥BC，若BD∶DE∶EF∶…= a∶b∶c∶…，则GM∶MN∶NP∶…= a∶b∶c∶…(如图2).