算术根和指数定律

──关于算术根的问题

算术根的定义：

就是方程

（1）

的正根.(

都是正整数)

⑴ 有没有正根存在？必须加上条件

.

⑵ 这个正根是否唯一的？

依据连续函数的性质.所以，中学数学的这一部分本质上属于高等数学范畴.为什么不用代数的基本定理？因为它不能保证正根的存在和唯一性，同时不便推广.代数的基本定理本质上也是依据连续函数的性质.

现在转到指数定律：

对它的讨论分成三步进行(因为涉及的问题性质不同)：

1.

为正整数.这时全部问题都归结为连乘积的性质问题，因此纯粹是算术问题，而且不必考虑存在性.

2.

为有理数(暂时限于正有理数).这时首先要解决定义问题.例如设

为正整数，则定义

.但定义的合理性如何？(暂时放在一边).然后是算术根的存在和唯一性问题.这已经由上面的定义解决了.

根式与分数有了联系，这只是外在

的，偶然的，一时的方便，还是有深

刻的内在联系？

分数有哪些基本本性，它们又与根式的哪些性质对应？似乎乘方指数与开方指数分别对应于分子和分母.那么：

ⅰ. 分数就是“乘以分子，除以分母”，但是乘除次序无关.所以，对于根式我们应该证明：

引理 1.

　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）

(先乘方再开方或先开方再乘方均可.)

证明：记式左为

，则

再记

则

双方乘

次方.有

即是说，

均为同一个方程

的解.　　　　　　　 （3）

但此方程的正解是唯一的，所以

， 即

证毕.

把这个结果用于定义

即有

　　　　　　　　 （4）

我们以后将使用任何一个式子.

ⅱ. 正有理数

就是一对正整数(但次序有关，所以可称为一个有序正整数对

.取任意整数

，

二者代表同一分数.这就是“通分”（反过来看就是约分）.这是分数区别于整数的根本之点.那么，对于根式有没有类似的结果？这就是

引理2.

　　　　　　　　　　　　　　　　 （5）

证明：记式左为

则它满足方程

双方乘

次方，即知它满足方程

记式右为

，由定义知道，它满足

这样看来，

是同一个方程

的两个正根.

由唯一性，引理证毕.总之，定义分数指数的幂

， 　　　　　　　　　　 （6）

并非仅有形式的意义.这两个引理的证明均非由分数的形式运算得出，而是利用了方程解的存在与唯一性.

ⅲ.分数基本本性的另一方面是它的运算的种种特性.分数有两种基本的运算：加法和乘法.如果指数是分数，其运算对于幂的影响就成了指数定律(1)～(3).现在我们就开始来证明指数定律.请大家注意，在证明过程中，我们会用到(1)～(3).这不是循环论证，因为我们只是在

为正整数的条件下用它们.我们已经说过，那时(1)～(3)只不过就是连乘积的性质.

（1）证明：令

于是

对下式的乘方指数应用连乘积的性质，就有

（2）证明.

注意，这里

均为正整数，所以可以对第二个式子中的

应用指数定律(2)

而得第三个式子.再对它应用引理2，就有

记

，则由算术根的定义有

对前式乘

次方，再以后式代入，即有

所以

（3）证明：这里需要的是证明

.

记

则

利用方程

正根的唯一性，即得

双方乘

次方，就得到(3)式.

3.

为一般实数(但是暂时限于正数).我们仍然定义

为方程

的正根，并且仍称之为算术根.一般的书上没有这个说法.我们这

样做的原因是，：用与上面完全相同的方法，可以证明，方程

仍有唯一正根存在.指数定律这时是否仍然成立？是!证明非常简单，用一点极限即可.所以略

去不说了.

两点说明

1.

怎么办？ 非正指数的定义：

目的在于保证可以进行逆运算.它与上面讲的所有结果均无矛盾.

2.

怎么办？进入复域.

和(或)

取复值将引起复杂问题，不是我们现在能解决的.

附录：小平邦彦的讲法

（见小平邦彦，微积分学入门Ⅰ一元微积分，72-73页，人民邮电出版社，2009）

　　幂运算

是指数函数和幂函数概念的基础：若视

为变量，就得到幂函数；若视

为变量，则得到指数函数.为什么要求

，我已经在另文中作了严格的论证，这里不再说明.

幂运算有三条基本定律(我称为指数定律)：

1.

2.

3.

当

为正整数时，幂就是连乘积；这时，上述三条定律是自明的，我们不再证明.现在要讨论的是

为有理分数的情况，即指数为

，而

均为正整数的情况(

为

也可以，但为简单计，我们不仔细说明).以下，所谓分数均指有理分数，所以如像

之类的数暂不讨论，留待下面

为一般实数时再说.

首先是当

为有理分数时（特别是

时）幂运算

的定义问题.小平邦彦书上是用

的反函数来定义

的.为此，他需要先证明严格单调连续函数必有反函数存在，并且在讲

时就已经明确地证明了它在

上严格单调连续.这些都比我国通用的多数数学分析教材讲得更好.我在另一篇文章里则用了以下定义：

定义1．

即方程

的算术根（即正实数根）．

算术根的存在和唯一性没有用代数的基本定理来证明，因为它只能保证方程

有复根存在，而无法保证有唯一正实根存在.所以我是用连续函数的中间值定理来证明的．这与反函数定理是完全等价的．进一步

的情况有两个方法来定义：或者定义为

的

次幂；或者定义为

的

次方根，即

定义2．

　

即方程

　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　 　（1）

的算术根．

这里

只是一个暂时的记号．现在的中学教材时常就说：分数幂

的定义就是

．必须明确指出，这个说法是错误的，因为它隐含地规定了乘方的次数

与开方的次数

的关系（也就是方程（１）左右双方的两个乘方次数的关系）是分数分子与分母的关系，而这一点正是需要着力论证的事情．正因为如此，我们在定义2后面特意提醒：

“这里

只是一个暂时的记号”．

中学教材还有一点遗漏：在

中是先开方后乘方还是先乘方后开方？看来似乎是先对

乘

次方，再对

开次

方．定义2则很明白是这样作的．因此自然有一个问题：可否先开方后乘方，即定义

为

？实际上不但可以，而且有时还更好．原因下面再说．

在下面的讨论中，我们暂时限制幂

为正，所以

负指数的问题因为比较明确，不会有什么误解，所以这里不说了.我们先来证明先开方后乘方也是可以的．

定理１.定义2中的

就是定义１中的

的

次方．

证明：记定义１中的

为

，它的存在和唯一性上面已经说了．它是一个正实数，因此可以对它求任意正整数次幂．由定义１，

双方求

次幂有

．但是

是正整数，从而

就是一个连乘积，所以

因此，

是方程

的算术根（注意

是正实数）而按照定义１，

亦即

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　 　（2）

这个证明的要害是：把

的有理分数幂变成

的正整数幂．反正

作为方程

的算术根是正实数，它的正整数幂就是简单的连乘积，所以可以应用前面讲的指数定律．以后许多证明都是这样来的．这就是为什么前面说先开方后乘方有时更好．

另一个更重要的问题是：有理分数

可以写成不同形状的分数，如

等，于是就有不同的

和

．所以至关重要的是要证明.

定理2．如果

为正整数，

则对于

有

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　 　 （3）

有了这个定理以后，我们才看见了

中

确实是一个有理分数．（但是我们下面还会给出一个符合现代数学要求的形式化的证明，虽然这对于大多数老师——更不说是全部中学生——是完全不必要的）．证明的方法和定理１的证明方法是一样的．

证明．对

乘以

次方．由于

即

所以由（2）式有

第一步的方括号处我们应用了（2）式；第二步最外层的方括号处，我们利用了

为正整数，从而可以利用前面关于幂运算的指数定律的第2条；最后一步则是定理的假设．

同样，我们也有

这样，

和

是同一个方程

的算术根（

和

是正实数从定义2中已经明确）．由算术根的唯一性即知二者相等．证毕．

以上只考察了幂为正的情况.如果幂为负，也不会有大的难处，所以不再讨论.

在小平邦彦的书中，以上全部内容只写了不到１页的篇幅．他说：“在本节，我们将对在高中数学中学过的指数函数和对数函数进行严格的论证.”由此可见日本对高中学生和教师是什么样的要求！我比较详细地写了这么多，无非是感到此书言简意骇，而自己教了这么多年的书，其实没有把最基本的东西讲清楚，实在汗颜，所以多写了几句.

下面再来证明对于有理分数幂，幂运算的三条定律也成立．因为证法完全一样，下面只证明第一条：

如果

为正整数，

，而

，则有

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　 （4）

证明：将上式左方乘

次方．因为

是正整数，所以可以应用幂运算的第三条定律而有

这里我们用了上面的证明，以及对于正整数幂的指数定律的第一条．

由此可见（4）式左边是方程

的算术根．因此

定理证毕．

为了更好地理解以及教好一个数学问题，一个有效的方法是注意瞻前顾后：我们不妨回忆一下小学生学分数运算的情况.如果有几个分数要处理，最好是先求出公分母，最方便的方法是把几个分母乘起来，如同上面的

那样，而不必求最小公分母.作了通分以后，就完全成了分子的正整数运算──分数问题化成了正整数.我们这里也是一样：先乘上

次方，就把分数幂的运算化成了正整数幂的运算.可见从原理到方法都是相通的.以上都是“顾后”，再说“瞻前”.我们讲的幂运算与小学讲分数不同之处仅在于乘法变成了乘方，除法变成了开方──这正是对数的思想.如果再进一步，想一下如果对于幂运算没有如此清楚的理解，指数函数该怎么教？岂非把大厦建立在完全靠不住的基础上？对于学生当然不能这样要求，但是作为一个教师，养成这样的瞻前顾后的好习惯，无疑是会得到丰厚的报偿的.但是前面所讲只不过是“体会”：数学里少不了某些只可意会的“体会”，但是终究应该用清晰明确的语言把它表达出来.所以，形式化是不可避免的，是一大进步.下面我们试图把它形式化.

什么是分数？一个烧饼３个人均分，每人得

个.教小学生这就够了.但是对成熟的中学老师，这是不行的.现代对分数的理解，就是把分数考虑成为一个有序的整数对

，其中

.所谓“有序”其实就是说前项是分子，后项是分母，次序不得混淆；

就是分母不得为０.但是

是同一个分数，所以在这类有序的整数对的集合里需要引入一个等价关系：若

适合关系式：

就说这两个有序的整数对等价，并且记作

确实是一种等价关系，因为它具有以下三条性质：

1.自反性：

2.对称性：若

则

3.传递性：若

而且

则

这些性质都不再证明了.

以后就称这个等价类为一个分数，并且把

记作

若

则说

以上所述全都可以在一本较完备的现代代数教本里找到，是每一个大学数学系的学生都应该学过的（或者可以容易学懂的）.因为手边没有参考书，就不再指出出处了，而是回到分数幂问题上来.

回到用于定义

的方程（1）.我们现在不再用

这个暂时的记号.但无论如何，这个方程的解（存在和唯一性问题已经解决了）总是

的函数.因为在整个过程中

一直没有变动，所以这个函数可以写作

但是，定理2告诉我们它其实是

所成的等价类

的函数，所以应该写成

当然最自然的记号应该是

，因为当

而

就是正整数

时，我们一直用的记号是

可见这不但不是暂时的记号，而且是只能使用这个记号.