之五 算24 之不可能问题与难题
算24, 是很多人都知道的一种用扑克牌玩的游戏。每张牌代表一个的正整数。(为了简单起见，可以将J,Q,K及“大小王”去掉，并约定A代表1。) 参加游戏的4个人每人出一张牌，4张牌就代表了4个正整数。四个人就开始竞争，看谁最先将这4个正整数通过加减乘除算出24来，而且每个整数恰好用一次。所用的数学知识虽然只是简单的算术，但要算得又快又正确也不容易。并且还有很多难题出现。
例如，如果4个数是1,1,1,1，你能算出24吗? 这个题目很难，所有的数学家都算不出来。你会不会因此而拼命地算这道题，希望有朝一日将这道题算出来，将所有的数学权威都打倒？只要你具有一点算术常识，就能看出用四个1按上述规则算出24是不可能的。因此你也不会白费力气去算这道“难题”。这不是难题，而是不可能问题。其实，现在有很多“民间数学家”拼命想解决的问题，比如用尺规作图三等分任意角、找出5次以上的一般代数方程的求根公式等等，也和这个问题一样是不可能问题。只不过这些问题的不可能性不容易看出，而是前辈数学家用较高深的数学知识才证明出来的。不过，既然已经证明了，就不再是难题，而是已经解决了的问题。
又例如，4个数是5,5,5,1，让你算24，你能算出来吗？还有，如果4个数是3,3,7,7，或者4,4,7,7，或者3,3,8,8，你能算出来吗？
也许，经过努力之后你仍然算不出来，于是你相信它们都是不可能算出的。不过，如果你看见这样的答案：5x(5-1/5) =24，就知道用5,5,5,1算24不是“不可能问题”，至多只能算是一个“难题”。其实，这个难题也不太难。只要你解除思想束缚，不要求中间每一步的计算结果都是整数，而允许出现分数，就能自己凑出答案来。不过，这样“凑出来”的答案让人感到是偶然的巧合。能不能有一个更自然的思考方法呢?
先用 5,5,1算出24：5x5-1=24。还剩下一个5没有用上。我们对 5x5–1 进行恒等变形，利用乘法对于加法的分配律将两项的公因子5提到括号外：
24 = 5 x 5–1 = 5 x (5–1/5)
这样既保持了答数24不变，又将算式中两个5变成了3个5。
你不妨自己试一下，用类似的方法用 4,4,7,7 或 3,3,7,7算24。
3,3,8,8 稍微不同，但也可以用同样的思路解决。
24=(3 x 8)/(3 x 3–8), 分子分母同除以3得 8/(3–8/3)
之六 巧解民间算术题—— 变化中的不变
中国民间流传很多算术题。比如，下面就是一个：100个人吃100个馒头，其中大人每人吃3个，小孩每3人吃1个。大人、小孩各多少个 ?
这个题目很容易用方程解出来。能不能用算术方法解? 可以考虑下面的思路。
先将要求放宽，只要求人数与馒头数相等，不要求都是100。就很容易凑出一个满足这个条件的答案：让1个大人与三个小孩同在一桌，共是4个人，吃4个馒头，人数与馒头数相等。假定摆很多桌子，人数与馒头数同时扩大。但不论怎样扩大，人数与馒头数始终相等。只需算一算要摆多少桌子才能让人数达到100： 每桌4人，100人就是 100/4=25桌。于是应当是25个大人，75个小孩。
另外有一道类似的民间算术题，稍微更难一些：100条鱼共100斤，其中大鱼每条10斤，中鱼每条1斤，小鱼每条1两。大、中、小鱼各多少条？
注意，中国很多年来都是1斤=16两，（一直到上世纪50年代才改成1斤=10两。后来更是统一用国际通用的计量单位“千克”，不再用中国自己的斤和两了。）因此小鱼的重量就是每16条1斤。
仍然先只要求鱼的条数与斤数相等，再将这个相等的数扩大到100。由于中鱼每条1斤，条数与斤数本来就相等，不需考虑。只考虑大鱼与小鱼。
大鱼：1条10斤，斤数比条数多9, 9 x 5= 45：5条大鱼50斤
小鱼：16条1斤，斤数比条数少15, 15 x 3= 45：48条小鱼 3斤
要使条数与斤数相等，必须将多的与少的相互抵消。容易算出9与15的最小公倍数为45。
因此将9与15分别扩大 5倍、3倍都变成45，也就是将 1条大鱼、16条小鱼分别扩大5倍、3倍各变成5条大鱼、48条小鱼，它们的总条数5+48 = 53 与总斤数50+3=53 就相等了。只需再扩大成100就行了。然而，53即使乘2就已经超过100，因此不可能通过乘法来扩大到100。但是可以通过增加中鱼来扩大到100。由 100–53 = 47知道，只要在5条大鱼、48条小鱼的基础上再添加47条中鱼，条数和斤数就都扩大到了100。
之七：乐谱速记法——不可能问题的可能解
1970年我从中国科大数学系毕业，被分配到川陕交界的大巴山区教公社小学附设初中班。除了教数学、物理、化学、外语，还负责组织和指导学生的文艺宣传队。搞文艺自然就需要乐曲，那时也不可能像现在这样有录音机甚至MP3，更不可能到网上下载，只能从广播里听。听见一些好听的乐曲，就想把它们的曲谱记下来。好在我有一点起码的音乐素养，听见乐曲就能够写出谱。问题是乐曲进行得快，人写得慢，一边听一边记录是来不及的。还没有把前一句记录下来，后面又演奏了很多句了。
怎样提高记录速度？当然，可以加强训练，尽量写得快些。我用的是简谱，也就是用表示数字的 1234567 来作音符。这些数字虽然简单，但乐曲中每一拍中往往就有好几个音，要在乐曲进行的这么短的时间内将表示这几个音的数字写完，无论怎样练习也没有这样快。
于是我想到将这些数字简化，自己规定一些尽可能简单的符号来表示各个音。最简单的符号就是一个点。能不能将所有的音都用点来表示呢？如果将所有的音都用一个点来表示，那就没有区别了，不能表示不同的音。要表示各个不同的音，各个符号的形状总得有区别。这样，每个符号就不可能太简单，书写的时间就无论如何追赶不上乐曲的进行。
由此看来，要用不同形状的符号来表示不同的音，记录速度是无论如何达不到要求的。
出路何在? 我想起了自己在小学音乐课学过的一点点五线谱的只是，想到五线谱的基本原理：将同一个符号放在不同的位置来表示不同高低的音。（五线谱符号形状的不同只是为了区别音的长短而不是区别高低。）为了提高记录速度，我想到可以用同一个最简单的符号——点放在不同的位置来表示不同的音。可以预先将表示声音高低的五条线画在纸上作成五线谱纸，在乐曲进行时将表示各音的点画在纸上。为了表示各个音的长短（节拍），也为了进一步提高记录速度，还可以将表示不同音的点用适当的方式连接成折线段。
在那些年，我曾经用自己发明的这个速记法记录了一些自己喜欢的乐曲。后来有了录音机，有了MP3，这个速记法似乎没有用处了。但我还是利用这个速记法从所录的歌曲中记录下了一些乐曲的乐谱，只不过条件更好了，可以多放几次，直到全部记录下来为止。
以上设计的乐谱速记法，看起来似乎没有用到数学知识，但是思维的方式却是数学的。其中关键的思考是：“只要形状不同，符号就不可能太简单，就不可能写得很快。要写得很快，一个出路是所有的音都采用最简单的符号——点来表示。点的形状没有区别，只能用位置来区别。”这里并没有讨论哪一种具体的符号，而是讨论所有这些符号的共同点：“用形状的不同来区别音的高低”，一网打尽全盘否定了具有这个共同点的所有的符号方案。考虑许多不同东西的共同点，这正是数学中典型的抽象思维方式。这与证明“尺规作图不可能三等分任意角”类似，不论哪种具体的尺规作图方法，不论是以前的人想过的，或者是以后的人将要想出的，只要具有共同点“符合尺规作图的规则”，就都讨论过了并且被一网打尽全盘否定了。当然，利用形状区别来记谱也有另外的出路：假如你的音乐素养足够好，就不需要记下全部音，只要记下一些重要的部分就可以将其它部分补充出来。不过，我还没有这样好的素养，所以只好采用这个笨办法了。
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