闲话五角星

(2009-05-21 21:49:50)

 

闲话五角星

彭翕成 [e-mail]

武汉 华中师范大学教育信息技术工程研究中心 430079

五角星是一个很有意义的图形。从数学史来看，最早对五角星的使用被发现在美索不达米亚的文献资料里，可以追溯到大约公元前3000年。从普及范围来看，五角星遍布全世界；有人统计，世界上的国旗带有五角星图案的，至少有50个国家。世人为何偏爱五角星？是因为其对称性么，非也。正六边形的对称性更强，但只有少数几个国家的国旗使用正六边形。是因为黄金分割么？这肯定是因素之一。根本原因如何？还有待考证。

从三角形到四边形，再到五边形，每前进一步，研究的困难都急剧加大。三角形是最基本的几何图形，研究已经比较透彻；到了四边形，则复杂很多，凸的还是凹的要分情况讨论，哪怕就是“已知四边求四边形面积”这种简单的问题都让一些数学爱好者想不明白；到了五边形，难度更大了，最明显的特征就是五边形的对角线一连，就构成了五角星。古代数学对于对星形的研究是很不够的，著名数学教育家傅种孙先生发表的《从五角星谈起》^[1]算是近代星形研究的开先河之作。直到现在，关于星形的很多问题都还没得到解决。笔者深感星形研究之难，不敢妄谈，写下这篇文字，算是闲话吧。

研究五角星，就不能不研究五边形；而研究五边形，就不能不提五角星；两者经常是一起存在，彼此相依，只不过或隐或现而已。图1是笔者为一本教辅书设计的一个封面图案，就能充分说明这一点。从轮廓来看，是一个曲五边形，其骨架却是一个曲五角星；再往里看，又是五边形、五角星……这样的结构本不出奇，但谁又能想象是由简单的几个点生成的呢？简单的制作，动态的变化，惊人的效果！图1不是传统的尺规作图所能完成的，具体作法和相关变化参看文[2]。

7：数形结合，巧记组合数

有一次，一位小学老师问从5个球中任取2个，有几种取法？

我回答道：C(5,2)啊。

该怎么算呢，记不得组合公式了。

这还要用组合公式么？画个图（图14）不就解决了。

参考文献

[1]傅种孙.从五角星谈起.中国数学杂志.1951.3.

[2]张景中，彭翕成.动态几何教程.北京：科学出版社.2007.9

[3]秦曾复.关于有理数和无理数的两个问题.初等数学论丛（第5辑）.1982.12

[4]朱成杰.智慧数学.上海：华东师范大学出版社.2008

[5]周春荔.如何证明(2n-1)角星的(2n-1)个角之和为180°.中学生数学.2005.22

[6]蒋建华.一笔画星形及其各星角和揭秘.数学通报.1993.8

[7]王方汉.平面折线的有向顶角及其求和公式.数学通报.1996.12