感悟对称

 

币有两面，随手抛下，非正即反，机会均等。

骰有六面，随手抛下，结果难料，机会均等。

从抛硬币到掷骰子，从2面到6面，展示出对称性质可扩展的空间。

如果换一个角度来看，问掷骰子所得的数是奇数还是偶数，那就和抛硬币猜正反，没有区别。于是便衍生出这样的问题：

用1，2，3，4，5，6,这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有多少个？

先来看总共可组成多少个六位数，六位数的第一位数字可以排6个数中的任意一个，也就是有6种可能；第二位数字可以排剩下5个数中的任意一个，也就是有5种可能；第三位数字可以排剩下4个数中的任意一个，也就是有4种可能；第四位数字可以排剩下3个数中的任意一个，也就是有3种可能；第五位数字可以排剩下2个数中的任意一个，也就是有2种可能；第六位数字，也就是末位数，没得选了，剩下哪个就排哪个吧，只有唯一的可能！那总共可以组成6×5×4×3×2×1=720个六位数。

这720个数，不是所有的都符合条件，还要看末尾是奇数还是偶数。在1，2，3，4，5，6这6个数中，偶数占一半，末尾那个数是偶数的可能性也是一半，那么偶数应该有720/2=360个。

其实，我们还有一种巧妙的方法来说明，在这720个六位数当中，奇数和偶数的个数是一样多的。就是：一一对应。

什么是一一对应呢？举个例子来说吧。公园里开晚会，来了很多人。到底来了多少人呢？收门票的师傅能告诉你答案，只要数一下他手里收到的票根就好了，每人一张票，收到多少票根，就来了多少人。每一张票根对应一个人，这就叫一一对应。

如果我们从720个数中任意找一个偶数出来，能否找到一个奇数与之对应呢？譬如给出偶数135246，那么我们可以给出奇数632421与之对应。632421是怎么找出来的呢？细心的读者会发现：135246=777777-632421。依照这个法子，我们就能将720个数中的偶数与奇数一一对应起来。

一一对应何尝不是一种对称呢？譬如下面这只蝴蝶，我们把它看作是一个对称图案，无非就是左边有的，右边也有，一一对应么！

可惜，世间万事万物，并不总是对称的！譬如将前面那道题稍加修改。

用0,1，2，3，4，5，这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有多少个？

也许有人迫不及待地抢答，还是360个啊。偶数么？就看末位数，0，1，2，3，4，5这六个数字，奇数偶数各占一半，不就是720/2=360么？

可问题是奇数1，3， 5都可以排首位，但偶数中只有2和4能排首位，0不能作为六位数的首位。这时候，奇数偶数已经不再对称！

问题不能一步解决，那我们就一步一步，分步解决！

如果个数为0，那么前面5个数位共有5×4×3×2×1=120种排法。

如果个数为2，那么在前面5个数位中，先考虑把0排在第2位、或是第3位、或是第4位、或是第5位，总共4种可能；而剩下的4位数可以任意排列，有4×3×2×1=24种排法。那么2排个位，0不排首位共有4×24=96种可能。

如果个位是4呢？可简单，2和4在这个问题上是对称的，也是96种可能。你能想清楚么？

那么，总计有120+96×2=312个偶数。

可见，将6换成0，对称变得不对称，题目就变得复杂不少。如果一定要从对称的角度来考虑，也是可以的。

我们这样思考：6个数总共排成6×5×4×3×2×1=720个6位数的数串，其中以偶数结尾的占一半，360个。这其中还包含0开头，2或4结尾的数串，这样的数串有4×3×2×1×2=48个。所以符合条件的偶数360-48=312个。

这时候，又有人想说了，总共720个六位数，偶数才312个，看来奇数更多一些！

其实不对。这时候符合条件的六位数没有720个那么多了，只有6×5×4×3×2×1-5×4×3×2×1=600个，原因就是0不能排首位。这样说来，偶数有312个，比奇数还多。这也是可以想象的，在所有符合条件的六位数中，0不能排首位，那就不排首位呗。排首位有什么好的，奇数偶数哪个多，看的不是首位，而是末尾。0不能排首位，那么排末尾的可能性就大了啊！

通过这个例子，我们发现对称与不对称，有时是可以相互转换的，接下来这个例子也充分说明了这一点。

有这样的两位数，它的十位数字比个位数字大，譬如31,52,84等，问这样的两位数有多少个？

两位数，不就是从10到99么？我们按照十位数字从小到大依次列出符合条件的数，10；20,21；30,31,32；40,41,42,43；……；90,91,92,93……99；总共有1+2+3+……+9=45个。

这用的是分类讨论再汇总相加的思路。我们也可以用对称的思路。

十位数字与个位数字比较大小，有三种可能：十位数字大，如21；两者相等，如22；十位数字小，如23。那是不是可以这样做，10～99，共90个数。再减去11,22……99这样十位数字和个位数字一样大的9个数之外，还有81个数。假设大于和小于各占一半，那么符合题目条件的两位数应该是40.5个，这可能么？

显然是不对的。问题就出在大于和小于不是各占一半。在大部分情况下，十位数字和个位数字比较，除了相等之外，大于和小于是各占一半的。譬如18和81看作一对，34和43看作一对……可是还有10,20,30……这些数，找不到两位数与之配对。但如果我们换种思路，将1,2,3……看成是01，02,03……这样的两位数，与10,20,30……这些数配对，那么大于和小于就真的是各占一半了。

所以解法是，01～99，共99个数，减去11,22……99这样十位数字和个位数字一样大的9个数之外，还有90个数。大于和小于各占一半，符合题目条件的两位数有45个。

对称，让问题变得简单！