尺规作图 短尺子=长尺子

短尺子=长尺子

 

尺规作图初看简单，实则奥妙无穷，具有挑战性，能够培养数学思维和数学能力。其历史悠久，影响深远，特别是古希腊三大几何难题（三等分角、倍立方体、化圆为方）更是吸引了无数数学爱好者。

要挑战这些难题，首先要搞清楚直尺和圆规能做什么。欧几里得在《几何原本》中已经作了严格说明。他提出两条基本的作图法则：

1：过不同两点可作一直线；

2：已知A、B两点，以A为圆心，以A到B间的距离为半径，可作一圆。

这两条法则，实际上只能用理想的圆规和直尺才能实现：直尺要足够长，圆规的跨度要能大能小。实际上这是办不到的。能否用现实中的尺规代替理想的尺规呢，这是可以的，你能想明白么？

下面说明如何使用长度小于AB的直尺来连接A和B两点之间的直线段。

笛沙格（Desargues）定理：在射影空间中，有六点A,B,C,a,b,c。Aa,Bb,Cc共点当且仅当AB∩ab,BC∩bc,CA∩ca共线。

到此，我们从理论上证明了短直尺和长直尺的等价性。但从实际操作的角度来说，直尺还是长一点为好，否则也确实麻烦。

尺规作图给人最大的启示就是：把千变万化的作图分解成若干个基本作图的组合；又能将看似不一样的工具使用起来效果一样。这种化繁为简，等价证明的作法充分体现了数学的威力，其中的数学思想值得我们深入研究。