Ch1概率论的基本概念 延伸阅读：蒲丰投针试验及其它

-概率论的基本概念 延伸阅读：蒲丰投针试验及其它

1. 蒲丰投针试验

1777年的一天，法国数学家蒲丰（Comte de Buffon，1707-1788）把一些朋友请到家里。他事先在一张大白纸上画好了一条条等距离的平行线，又拿出许多质量均匀、长度恰好是平行线间距的一半的小针，请朋友们把针一枚一枚随意投到白纸上，如图1。蒲丰则在一旁观察每一枚投出的针是否与平行线相交。计数结果是：共投了2212枚，其中704枚与平行线相交。于是，蒲丰计算了这两数之商：2212/704≈3.142，然后宣布，这就是圆周率π的近似值！

当时，这一试验着实让客人震惊。要知道，计算π的值是确定性问题，而投针却是随机性的方法！

2．投针法求π的近似值的数学依据

事实上，我们不妨先考虑如下问题：假设平面上画有等距平行线，距离为d(d>0)，向平面上随机投针，针的长度为L(L<d)，试求针与平行线相交的概率P(A)。

以x表示针的中点到最近平行线的距离，φ表示针与平行线的交角。于是针的位置由(x,φ)所确定，如图2。

从而，投针试验就相当于向平面区域S={(φ,x)︱0≤φ≤π,0≤x≤d/2 } 等可能地随机投点；而“针与平行线相交”的充要条件是：x≤(L/2)sinφ，即所投的点落入平面区域A={(φ,x)︱0≤φ≤π,0≤x≤(L/2)sinφ}，如图3.

由几何概型的概率公式知，P(A)= 区域A的面积/区域S的面积。即

另一方面，假设共投针n次，其中针与平行线相交m次，则事件A的频率为

当n充分大时，A的概率可以用相应的频率来近似，得

在前述蒲丰所做的实验中，L=d/2，n=2212，m=704，自然有π≈2212/704≈3.142.

3．蒲丰投针试验的意义

蒲丰投针实验之所以重要，其意义并不在于所求得的π值比其它方法更精确，而在于通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这反映了不同分支之间的内在联系，而且是使用随机实验处理确定性数学问题的先导，因此着实令人叫绝！

4．蒙特卡罗仿真

历史上有多位数学家重复过蒲丰的投针试验，详见下表：

试验者

年份

投针次数

相交次数

π的近似值

沃尔夫

史密斯

德摩根

福克斯

拉泽里尼

赖纳

1850

1855

1860

1884

1901

1925

5000

3204

600

1030

3428

2530

2531

1219

383

489

1808

859

3.1596

3.1554

3.137

3.1595

3.1415929

3.1975

如果想做更多次的试验，有没有更为方便可行的方法呢？

蒲丰投针法的实质是：设计一个适当的随机试验，观察某事件是否发生，而该事件的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量。

随着计算机等现代技术的发展，此方法已经发展为在自然科学、社会科学各领域具有广泛应用的蒙特卡罗方法（Monte-Carlo method），而借助于MATLAB等强大的数学软件可以实现对大量随机试验的计算机模拟，这就是所谓的蒙特卡罗仿真。

5．蒲丰投针试验的仿真

（1）基本原理

模拟n次的投针实验：由于针是随机投到纸上的，如图2，针的中点与较近的平行线间的距离x应服从0到d/2之间的均匀分布，针与平行线的交角φ，应服从0到π之间的均匀分布。于是，可以利用MATLAB命令生成两个n行1列的随机数矩阵，分别赋值给向量x和φ（在程序中记为phi）。

统计试验结果：针与平行线相交的充要条件是x< 0.5*L*sinφ，于是，只要统计满足x< 0.5*l*sinφ的x的分量个数，就知道相交的次数。再利用公式（1）即可求得π的近似值。

（2）MATLAB编程

例如，给定d=10，L=5时，模拟200万次投针实验的MATLAB程序如下，你可以自己上机试试。

>> d=10;L=5;n=2000000;p=10; % d为平行线间距，L为针的长度，n为投掷次数，p为有效数字位数

>> x=unifrnd(0,d/2,[n,1]);phi=unifrnd(0,pi,[n,1]); % 产生均匀分布的随机数，分别模拟针的中点与最近平行线的距离和针的倾斜角

>> y=x<0.5*L*sin(phi); m=sum(y); % 计数针与平行线相交的次数

>> PI=vpa(2*L*n/(d*m),p) % 根据公式（1）求π的近似值