如何填写幻方

作者：尹春来  时间：2014年3月

 

这是我于1999年9月26日构造的数学模型。我的这篇文件曾被包括百度等网站引用。近几天没事儿，就从新整理了一下，放在我的博客中，以供参考。根据下述模型，可以很方便生成幻方，并可编制幻方的应用程序。

一、什么是幻方

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

二、奇阶幻方的填法

当行(列)n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。

对于奇阶幻方，可以使用Merzirac法与loubere法，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。

 

1、Merzirac法

在第一行居中的方格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral法生成的5阶幻方：

 

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形，如下图：

1	2	3	1	2	3	1	2	3
3	4	5	3	4	5	3	4	5
7	8	9	7	8	9	7	8	9
1	2	3	1	2	3	1	2	3
3	4	5	4	5	6	3	4	5
7	8	9	7	8	9	7	8	9
1	2	3	1	2	3	1	2	3
3	4	5	3	4	5	3	4	5
7	8	9	7	8	9	7	8	9

将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。当填写到i>n时，i=i-n，j同样如此。

2、loubere法

在居中的方格向上一格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向上移两格继续填写。超出方格之后可以按上面所介绍的方法延伸格子并填充?

如下图用Louberel法生成的5阶幻方：

23	6	19	2	15
10	18	1	14	22
17	5	13	21	9
4	12	25	8	16
11	24	7	20	3

3、horse法

在第一行居中的方格内放1。向左走1步，并下走2步放入2(称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1?……

如下图用Horse法生成的5阶幻方：

23	12	1	20	9
4	18	7	21	15
10	24	13	2	16
11	5	19	8	22
17	6	25	14	3

一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，[-1,0]为向左走一步。则马步可以表示为2X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。对于2X+Y相应的跳步可以为X,-X,Y,-Y。上面的是X型跳步。Horse法生成的幻方为魔鬼幻方。

 

三、偶阶幻方的填法

当行(列)n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。

对于偶阶幻方，可以应用Hire法、Strachey以及YinMagic（是我于2002年设计的模型）将其实现，Strachey为单偶模型，我对双偶（4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。

 

1、Hire法

将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。

在Ａ内两对角线上填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n×(n+1)/2。

填写方法为：将对角线上从左到右填写1到n；之后在没有填数字的格字内按下列顺序填数字：第1行从n到1顺序填写（因为1与n已经填了，所以只要按倒序填其他数字），从第2行起到第n/2行按从顺序1到n进行填写；从第n/2+1到第n行按n到1倒序进行填写，注意，因为对角线的方格已经先填好了，所以这个数字不变。最后将第2行第1列改为n，第2行第n列改为1。如下所示为6阶填写方法：

1	5	4	3	2	6
6	2	3	4	5	1
1	2	3	4	5	6
6	5	3	4	2	1
6	2	4	3	5	1
1	5	4	3	2	6

如下所示为8阶填写方法（转置以后）：

 

1	8	1	1	8	8	8	1
7	2	2	2	7	7	2	7
6	3	3	3	6	3	6	6
5	4	4	4	4	5	5	5
4	5	5	5	5	4	4	4
3	6	6	6	3	6	3	3
2	7	7	7	2	2	7	2
8	1	8	8	1	1	1	8

 

将Ａ上所有数字分别按如下算法计算，得到Ｂ，其中b(i,j)=n×(a(i,j)－1）。则ＡT＋Ｂ为目标幻方（ＡT为Ａ的转置矩阵）。如下图用Hire法生成的6阶幻方：

1	35	4	33	32	6
30	8	9	28	11	25
19	14	15	16	23	24
18	23	21	22	14	13
12	26	28	9	29	7
31	5	34	3	2	36

2、Strachey

将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。

将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。

A	C
D	B

Ａ用1至2m+1填写成2m+1阶幻方；B用(2m+1)²+1至2×(2m+1)²填写成2m+1阶幻方；C用2×(2m+1)²+1至3×(2m+1)²填写成2m+1阶幻方；D用3×(2m+1)²+1至4×(2m+1)²填写成2m+1阶幻方；在Ａ中间一行取m个小格，其他行左侧边缘取m列，将其与D相应方格内交换；Ｂ与Ｃ接近右侧m-1列相互交换。如下图用Strachey法生成的6阶幻方：

35	1	6	26	19	24
3	32	7	21	23	25
31	9	2	22	27	20
8	28	33	17	10	15
30	5	34	12	14	16
4	36	29	13	18	11

 

3、YinMagic

第一步：先构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间；

第二步：对四顶角赋值：其中：a[1,1]=2×n-2，a[1,n]=2×n-3，a[n,1]=n×n-2×n+4， a[n,n]=n×n-2×n+3，

 第三步：对边线赋值：如果是单偶幻方，则按如下填写1至6，2×n-4，2×n-5的数字；

2×n-2	1			5			n×n-2×n+4
							2×n-4
							2×n-5
2
							6
2×n-3		3	4				n×n-2×n+3

如果是双偶幻方, 则按如下填写1至6，2×n-9至2×n-4的数字；

2×n-2	1			4	5				n×n-2×n+4
									2×n-4
									2×n-5
									2×n-6
									2×n-7
2×n-8
2×n-9
2×n-3		2	3			6			n×n-2×n+3

相应其对角线数字为n×n+1-a[i,j]；至此全部填写完毕。本方法适用于n>4的所有幻方，是我于2002年12月31日构造的数学模型。YinMagic法可生成6阶以上的偶幻方，本程序生成的4阶幻方是我构造的一个魔鬼幻方。

如下图用YinMagic法生成的6阶幻方：

10	1	34	33	5	28
29	23	22	11	18	8
30	12	17	24	21	7
2	26	19	14	15	35
31	13	16	25	20	6
9	36	3	4	32	27

 

4、Spring

将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。

将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。先令a(i,j)=(i-1)×n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………。之后进行对角交换。对角交换有两种方法：

方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。（保证不同时为奇或偶即可。）

方法二；将幻方等分成m×m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。

如下图用Spring法生成的4阶幻方：

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

四、奇特的幻方

魔鬼幻方

如将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n×n方格内的数字都可以组成一个幻方。则称该幻方为魔鬼幻方。用我研究的Horse法构造的幻方是魔鬼幻方。如下的幻方更是魔鬼幻方，因为几乎对于任意四个在两行两列上的数字，他们的和都是34。此幻方可用YinMagic方法生成。

15	10	3	6
4	5	16	9
14	11	2	7
1	8	13	12