宁静致易群《五音和五行之间运算》

长假最后一天，继续精彩学习。

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群里的老师们晚上好，今天我继续汇报一下五行五音的运算。

首先说一下，连分数展开与有理近似

群里的老师们晚上好，今天我继续汇报一下五行五音的运算。

首先说一下，连分数展开与有理近似

对于一个有着许多小数位的实数而言，如何找到它的较为简单的既约分数近似，在初等数论里面有处理思路。

比如对于圆周率π，它在十进制下的小数记法是

3.14159265…

取3.14159265…

先剪去整数部分3，将剩余的小数表示一个成一个分数 

0.14159265…=1/a。这个a是可以求出来的

a=1/0.14159265…= 7.06251348…

可是这个a也不是一个整数，不然就可以通过通分处理得到一个分数了

对这个a可以继续如上操作:

7.06251348…=7+ 0.06251348…

0.06251348…=1/b 

b=1/0.06251348…=15.99… 

所以可以得到一个连分数表示

一个有理数，可以使用这种方法通过有限步，写出最终的分数表示。

而一个无理数，因为不可能写成分数表示，所以这个连分数表示是无穷尽的。

上面的圆周率π右下角有个省略号，就是说它有无穷步省略了。

虽然无理数不能通过有限步写成分数表示，但是如果截断这个无穷步的连分数，得到的就是其有理近似了。

所以我们一起试着截断一下圆周率的连分数，得到其有理近似。

一，零级近似

只要第一项，那么近似值就是3

这也是古人常用的一个近似，比如赵爽注周髀算经，围三径一。

如果往下近似一步呢？

 

这是22/7是3.14285714…很接近了，这就是所谓的约率。 

如果继续近似呢？

这是333/106是3.14150943…更接近了继续的话注意到

 

这个292是个很大的数，它加上一点小数再取倒数，基本就很接近0了 

 所以

近似到这里就差不多了 

这个355/113= 3.14159292…

极其接近圆周率的真值了，所以称为密率

约率与密率都是祖冲之的研究结果

可以将这些近似分数排个序

3

22/7=3.1428571…

333/106=3.14150943…

355/113=3.14159292…

有个关系3<333/106<…<π<…<355/113<22/7这就是一步步逼近真值的做法称为连分数展开与有理近似。OK，这是第一小部分。

第二小部分

上古先民对于音律的实践，可以说很久了。

著名的案例是贾湖骨笛

距今八千年前，古人就用鹤骨做笛子了

笛属于乐器里管类，这个实践靠经验的积累。

而弦类则相对简单

张紧一根粗细均匀的轻质弦，两端固定好。

轻拨这根弦，就可以看到驻波在上面的分布。

比如拨在中央，会看到一个波腹。如果偏一点拨，会看到更多的波腹。

对于两端固定，张紧的粗细均匀的弦，其上的振动模式有多种。

这种在弦上振动传播的波是横波。其两波节之间的长度，是其在弦上传播的横波的波长的一半。

观察半波长，就可以推知弦振动的频率了。因为波速是固定的，它只取决于弦内张力与弦的线密度。

同样一根弦上，可容纳多种振动模式，表现为波腹数量的不同。而这个数量决定了频率。

如果把只有一个波腹的振动频率称为基频，那么两个波腹、三个波腹…就对应于二倍频、三倍频…

实际上，一根弦上的振动频率可以多种共存，这些不同频率的叠加形成了此弦乐器的特征音色。

虽然如此，在处理音律运算时，假定其上的振动有个基频，其次通过控制弦长可以调控出倍频等等。

这跟5G属于超短波一般。越高的频，绕障碍的能力越弱。所以未来5G要比现在多许多倍的机站。几百米就一个机站

虽然弦上的振动是横振动，弦上传播的波也是横波，但是这个振动的弦却按其振动频率带动附近的空气一起振动。而空气里的振动，是疏密波，是纵波。这样，一种本质的东西——频率就换乘纵波藉由空气传到听音的人的耳中。

所以通过控制弦长，就可调控频率的操作，在弦乐器上得以实现。

由于人类耳蜗中基底膜对频率的响应的非线性特征，决定了神经元对音调的编码。简而言之，就是对数处理。

人耳接受到某种能听到的频率的音波后，经听小骨的传递放大，经耳蜗卵圆窗传入耳窝内。

耳蜗是一个类似蜗牛🐌的东西，里面有个基底膜。振动在基底膜上能引起特定位置处的响应。

把耳蜗展开拉直，就会得到一个图示

这个响应特征，是对数的。

以2为底的对数

如果记基频为f

这是一个参考标准

比如选为440Hz，或其他。选定后，作为参考标准用。

那么在频段[f，2f]之间，对频率为x倍f的音调的听觉感受为：f(x)=log₂x。

这个处理的结果，使得音频加倍后，听到的音的感受相近。

 

f(x)=log₂x

这个计算的结果，应当取整取余

所以，将自然泛音列的前十个倍频

f，2f，3f，…10f

按相对加倍的处理归一化

f到2f是一个区间

2f，3f，4f是一个区间3f，4f，5f，6f是一个区间

4f，5f，6f，7f，8f是一个区间

5f，6f，7f，8f，9f，10f是一个区间

归一化之后结果是

最后一行

偷个懒，把以前的结果搬过来了

归一化，就是把每个加倍的频段都除以最低频率

我们看到了一些分数

1,6/5,5/4,4/3,7/5,3/2,8/5,5/3,...9/5,2

将它们带入f(x)=log₂x

进行计算

这是两端，两端的听觉感受是相近的

因为听到一个乐音，再听频率翻倍的相应乐音，在听觉中感受相近。会对应同一个音的感受。

那么把其它值也带入公式运算

这是一个计算结果，做成了表格。

上表使用了连分数展开

下表做了有理近似

例如x=7/5时

这个数进行连分数近似

log₂(7/5)

=(0;2,16,1,...)

括号里的分号前是这个数的整数部分，后面小数部分用逗号隔开。

这就是上表里的部分

至于下表，则是逐级近似

这就是逐级近似的结果

从下表可以看出，自然泛音列前十个倍频，其五个归一化频段的听觉感受，是一些近似的有理数

下表那些加了强调色的是什么呢？

它们都可化为分母为12的分数

而且这些分母为12的分数的下一级近似的分母就不再有这个简单关系了

这个分母为十二，是自然导出的结论。它提示我们，可将那个听觉感受函数放大十二倍。

故而引入律位的概念，其函数形式为：

g(x)=12log₂x

这意味着将区间[0,1]放大12倍，而成为[0,12]。

定0为子位，1为丑位，2为寅位，3为卯位，4为辰位，5为巳位，6为午位，7为未位，8为申位，9为酉位，10为戌位，11为亥位；而12又复为子位。

这里的十二律位是自然导出的，后面借用了十二地支表示。

这个音乐实践，上古先民最迟在八千年前就在做了。虽然不一定清楚里面的运算，但是十二律位的概念会逐渐形成。

这个音乐实践，上古先民最迟在八千年前就在做了。虽然不一定清楚里面的运算，但是十二律位的概念会逐渐形成。

我们看到，它出于自然。是声音振动与听觉感受的产物。

这个表也搬过来了

我们看到，前五个归一化频段里的听觉感受，并不严格落在律位整点上。都有一定的误差。

误差最大的是x=7/4，我把它剔除了

十二个律位上，有九个声音感受近似相合。这是个很高的比例

这就是十二律形成的物理生理数理基础了。

注意到，误差最小的是一个是

x=3/2时的未位

因此，它提示古人们去做一件事

那就是得到基频的3/2倍的频率

做法是将两端固定的弦的长度三等分，而取其二。这样新的弦长缩短为原长的2/3，频率自然升为原来频率的3/2倍了。

这个做法叫做三分损益法

古书上记录这个做法的是管子地员篇

而战国古书《吕氏春秋》的“音律”篇中，也记载了三分损益法生十二律的操作。

我把它们合在了一张表上

这里面涉及一套音名和律名。

音名出于管子地员篇，律名有多种文本记载，例如伶州鸠答周王问就有了

这个三分损益法，又称单向五度生律法。做法是

以两端固定的弦做基础，定为黄钟子位宫音。

这个定宫音需要用耳审音，使它不高不低处于中的位置。

宫位于四方之中，上次提过。

然后三分其弦长取其二，得徴音。而律位由子升到未。

宫生徴，黄钟子一变至于林钟未。

从子到未，一二三四数到八。这个生律特点又称隔八相生。

本质上是隔七个

然后徴音往下生，弦长再缩短2/3，就是原长的4/9了。然后其频率为宫音的9/4，超出二倍关系，所以加一倍弦长，降一倍频率。得9/8倍宫音频率，而这意味着自林钟未，往下生律时，只需将弦裁为三段，再增益一段，成为徴音的4/3倍即可。

三分损益交替相生

那么就会得到五音关系

宫徴商羽角

得到对应律位次序

子未寅酉辰

这个表就是三分损益法生五音十二律，但是显而易见，误差随着生律次数多增加在逐渐放大

不难看出，黄钟九变至于夹钟，相对标准律位的误差近17.60%。十变至于无射，相对标准律位的误差近19.55%。十一变至于仲吕，相对标准律位的误差近21.51%。而十二变至于清黄钟（黄钟不能还原），相对标准律位的误差近23.46%；误差已经很大了。

现代音律理论里面将从子位算起的诸律位称为半音，那就是十二个半音了。而两个半音之间的音程分成100音分。不难看出，三分损益法最后一变由仲吕巳位，回不到黄钟子位。差了23.46音分

这是它的不足之处，那么，如何操作才能使黄钟还原呢？

只需子生未时恰好落在未位整点上即可，不要有误差。

这意味着x不能选为3/2

使12log₂x=7即可

可以算出x=2的7/12次方

这个值很接近3/2，却不是3/2

这就是明代朱载堉做的

是他首次提出了今天称为十二平均律的内容

这是倒着推算x

易知，这个间隔为7的相生法与三分损益法同构，只不过生律因子不同；可称作七步生律法。

在三分损益法中，通过三分损一可得与原弦长之比为2/3的弦长，从而使生成的新音之频率为原频率的3/2倍。而这里则是1.498...倍，结果则是黄钟能够还原。

另一方面，从十二律自浊至清的顺序看，恰是一个公比为2的1/12次方的数列，因此使十二律的生成方式有了一个新的角度，亦即一步生律法。

若对新的x进行连分数展开及有理近似，又可得到前面讨论的那些归一化频段的分数来。

上表加了背景色的单元格中，那些分数再次出现

上面是第二小节

第三小节，五音五行对应

守宫于中央土，定其数为五

朋友们请看，黄钟子一变至于林钟未，其数增七。

所以宫五生徴二

2≡5+7 (mod 10)

而徴二生商九

9≡2+7 (mod 10)

商九生羽六

6≡9+7 (mod 10)

羽六生角三

3≡6+7 (mod 10)

这就是宫五徴二商九羽六角三的数量关系

这些内容记载在清代易学家江永的书中，叫做河洛精蕴

接着相生

宫五徴二商九羽六角三

宫十徴七商四羽一角八

这样，东方甲乙木，其数三八，其音角

南方丙丁火，其数二七，其音徴

中央戊己土，其数五十，其音宫

西方庚辛金，其数四九，其音商

北方壬癸水，其数一六，其音羽

就这样，五音以数归五行。

今天就汇报这些，