如果理解数字信号处理中傅里叶变换的周期为2pi？

分析信号的频谱特性时，经常要对信号进行傅里叶变换，但傅里叶变换是以2pi为周期，而时域里的信号角频率的范围是很宽的，为什么傅里叶变换中的0~2pi可以代表信号整个频率范围。

 

1。模拟信号的频率：我们这样理解，模拟频率越大，信号变化越快。我们拿构成模拟信号的频率分量来说吧，比如cos(Ωt)。
2。数字信号是对模拟信号[等间隔]抽样得到的，即cos(ΩTn)=cos(wn)，w=ΩT[称为数字频率]，由于离散[数字]信号的自变量是n是整数，因此数字频率w与w+2pi*M是同一个数字频率！即cos(wn)=cos[(w+2pi*M)n]。对离散信号作傅里叶变换，实际上是将离散信号[量化后就是数字信号]分解为 e^jwn的线性组合，其频谱就具有周期性，频率为w的频谱等于  频率为w+2piM的频谱。

3。再来看cos(wn)是构成实数离散信号的基本信号；他最大的频率是多少呢？周期最小N=1,故变化最快的是w=pi；变化最慢的当然是直流w=0。因此w=0代表的频率最小，w=pi是最高频率，对应模拟信号的频率为Ω=w/T=pi/T=Ωs/2[抽样频率的一半]。对实数离散信号来说，0~2pi的频谱图是以w=pi对称的。

4。根据时域抽样定理，抽样频率Ωs最小为被抽样模拟信号最高频率的2倍；因此可以认为被抽样模拟信号最高频率=Ωs/2，这个频率对应数字频率的pi。

5。实际中即使模拟信号的最高频率是无穷大，但是可以通过滤波，滤去无用的高频分量，再对他抽样以避免 频谱混叠。