周期信号和非周期信号是信号的一种分类方式。

重要提示：

对于连续周期信号，我们在后续课程中将首先讨论它的傅里叶级数展开式，从而引出周期信号频谱的概念；然后过渡到非周期信号的傅里叶变换，并讨论其频谱。对于离散周期信号和离散非周期信号也有相似的可做类比的讨论。

1.连续周期信号的周期

对于连续周期信号，有

        f(t)=f(t+mT), 其中m取整数，T为正实数；

以上等式在整个时间(t)轴上处处成立。

我们知道，对于连续周期信号，T就是信号的周期。信号的周期不唯一，其中最小的那个T值常称为连续周期信号的基本周期（fundamental period），简称作周期。显然，对于连续周期信号，T,2T,3T,…都是信号的周期（因为信号以T为周期重复，也就意味着信号会以2T（3T,…）重复）。我们通常求解的周期就是信号的基本周期（也就是信号波形重复的最小时间跨度）。

最为熟悉的连续周期信号应该是正弦（或余弦）信号，即形如sin(ωt)的信号（ω为正实数）。对于信号f(t)=sin(ωt)，我们一般称ω为其角频率（单位是rad/s）。这个信号的频率（frequence）为：

                   f=ω/2π   (Hz)

它的周期（基本周期）为：T=1/f=2π/ω  (s)。

类似地，我们定义任意连续周期信号的周期、频率、角频率等概念。例如：以下的周期性三角波信号。

它的周期（T）为0.2s，频率（f）为5Hz，角频率（ω）为10πrad/s。

对于一个形如sin(ωt)的连续信号，它一定是周期信号（只要ω是正实数，无论它是多少），因为信号重复的最小跨度可能（并可以）取任意正实数。但是对于形如sin(βk)的离散信号就不然了！

2.离散周期信号（或称作周期序列）的周期

对于离散周期信号，有

      f(k)=f(k+mN), 其中m取整数，N为正整数；

以上等式在整个序号(k)轴上处处成立。

考虑形如sin(βk)的离散信号（β为正实数），仿照连续周期信号，我们将β定义为离散信号的角频率（单位为rad。只是称作“角频率”而已！！）。类似地，离散信号的周期N= 2π/β（只是称作“周期”而已！！）。但是根据离散信号的特点——只在序号（k）位置定义有样点值f(k)。如果是周期信号，它的周期N显然必须为正整数。那么我们可以把2π/β的结果分为以下三种情况：

（1）2π/β为整数；

（2）2π/β为有理数（即形如P/M的既约分数，此处P、M均为正整数）；

（3）2π/β为无理数。

第1种情况下形如sin(βk)的离散信号的周期（基本周期）就是2π/β，因为

    f(k)=sin(βk)=sin(βk+2π)=sin[β(k+2π/β)]=f(k+N)。

第3种情况下形如sin(βk)的离散信号非周期的，因为你无法找到那个满足周期信号定义的整数N。

最后是第2种情况，此时2π/β为有理数，也就是2π/β可以表示为形如P/M的分式，这里P与M是互质的正整数。此时，

     f(k)=sin(βk)=sin(βk+2nπ)=sin[β(k+2nπ/β)]=f(k+nP/M)

要使nP/M成为一个最小的整数，只要令n=M就可以了（这相当于将P/M放大M倍），所得到的整数P就能够使形如sin(βk)的离散信号满足周期性，也即序列周期N=P。

实际上，第1、第2种情况可归结为同一种情况，只是在第1种情况里M=1。

3.小结

到此，我们可以总结如下：

形如sin(ωt)的连续信号（ω为正实数）一定具有周期性；

形如sin(βk)的离散信号（β为正实数）不一定具有周期性，这主要是因为离散信号的序号只能取整数值，相应地其周期也必须是正整数。当2π/β为整数时，形如sin(βk)的离散信号是周期信号，并且其周期N=2π/β；当2π/β为既约分数（即分子与分母互质）时，形如sin(βk)的离散信号也是周期信号，并且其周期N=该分数的分子；当2π/β为无理数时，形如sin(βk)的离散信号是非周期信号。

4.非周期信号也可视作周期信号：D：D

非周期信号（无论连续还是离散）可以看作周期T（/N）为正无穷大（+∞）的周期信号。

5.问题思考

“两个连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。”，为什么？

提示：公倍数或最小公倍数的概念最早是针对自然数（1,2,3，...)的，并且所取“倍数”的数值一定也是自然数集合里的数。我们可以把这个概念推广到有理数（分数）集合（或者无理数集合）上去，但倍数的取值仍然是在自然数集合里取（因为我们一般不讨论“0.5倍”这样的倍数）。例如：1/3和2/3的最小公倍数是2/3，它们达到最小公倍数所取的倍数值分别为1和2；又如：2/3和3/5的最小公倍数是6，它们达到最小公倍数所取的倍数值分别为9和10；再如，π/2和π/3的最小公倍数是π，它们达到最小公倍数所取的倍数值分别为2和3。但是，有理数和无理数之间不可能存在最小公倍数。

两个连续周期信号之和的例子

f1(t)周期T1=1/6 s，f2(t)周期T2=1/9 s，f1(t)+f2(t)周期T=1/3 s。