本公众号已较为系统地介绍了工具变量法,包括2SLS、GMM、弱工具变量、工具变量外生性检验等。但初学者常常不理解,为何在2SLS的第一阶段回归中,应包括所有的外生解释变量。本推文从两个层次对此进行补充说明。首先,可以这么做;其次,应该这么做。
可以这么做
考虑简单的二元线性回归模型:
其中,
进一步,假设变量
此时,不难看出,外生解释变量
记此第一阶段回归的拟合值(fitted value)为
则第二阶段回归为(将原方程变形可得)
其中,
应该这么做
2SLS 之所以为一致估计,本质上是因为在上式的第二阶段回归中,解释变量
首先,根据定义,外生变量
其次,根据 OLS 的正交性,第一阶段回归的残差
反之,如果不把
总之,为了保证 2SLS 的一致性,必须把原方程中所有的外生解释变量都放入第一阶段回归。
计量经济学的一段公案
在计量经济学发展的早期,研究者还不太注意避免上述陷阱。比如,Griliches and Mason (1972) 在使用 2SLS 估计教育投资回报率时,就犯了类似的错误,未将所有外生解释变量放入第一阶段回归(比如,遗漏了外生变量年龄 age)。Cardell and Hopkins (1977) 在对该文的评论中,指出了这个错误,并得到了与Griliches and Mason (1972) 很不相同的估计结果。从此,将所有外生解释变量均放入 2SLS 的第一阶段回归,成为计量经济学的共识。
参考文献
Angrist, Joshua D. and Jorn-Steffen Pischke, 2009. Mostly Harmless Econometrics. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
Cardell, Nicholas S. and Mark M. Hopkins, 1977. 'Education, Income, and Ability: A Comment,' Journal of Political Economy, 85, 211-15.
Griliches, Zvi, and William M. Mason, 1972. 'Education, Income, and Ability,' Journal of Political Economy, 80, S74-103.
陈强,《高级计量经济学及Stata应用》,第2版,高等教育出版社,2014年。
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