工具变量法（五）: 为何第一阶段回归应包括所有外生解释变量

本公众号已较为系统地介绍了工具变量法，包括2SLS、GMM、弱工具变量、工具变量外生性检验等。但初学者常常不理解，为何在2SLS的第一阶段回归中，应包括所有的外生解释变量。本推文从两个层次对此进行补充说明。首先，可以这么做；其次，应该这么做。

可以这么做

考虑简单的二元线性回归模型：

 

其中，

 为被解释变量，

 为内生解释变量（与扰动项 

 相关），而 

 为外生解释变量（与扰动项 

 不相关）。

进一步，假设变量 

 为工具变量（Instrumental Variable，简记IV），满足 “相关性”（

 与内生变量

 相关）与外生性（

 与扰动项

 不相关）。

此时，不难看出，外生解释变量

 也可以作为自身的工具变量。首先，

 与 

 是完全相关的（相关系数为1），故满足相关性（relevance）。其次，既然 

 为外生解释变量，则根据定义，

 与扰动项

 不相关，故也满足外生性（exogeneity）。因此，

 为有效（valid）工具变量，可以将 

 放入 2SLS 的第一阶段回归中：

 

记此第一阶段回归的拟合值（fitted value）为

 

则第二阶段回归为（将原方程变形可得）

 

其中，

 为第一阶段回归的残差（residual）。

应该这么做

2SLS 之所以为一致估计，本质上是因为在上式的第二阶段回归中，解释变量 

 与 

 均与新扰动项 

 不相关。

首先，根据定义，外生变量

 与

 不相关；而

 作为第一阶段回归的拟合值，是工具变量

 与外生变量

 的线性函数，故也与 

 不相关。

其次，根据 OLS 的正交性，第一阶段回归的残差

 与第一阶段回归的解释变量

 与

 均不相关，故

 与

 都与 

 不相关。

反之，如果不把

 放入第一阶段回归，则无法保证第一阶段回归的残差

 与

 不相关。而另一方面，作为原模型的一个解释变量，

 依然出现在第二阶段回归中，此时就无法保证 

 与

 不相关，故导致 2SLS 不一致。

总之，为了保证 2SLS 的一致性，必须把原方程中所有的外生解释变量都放入第一阶段回归。

计量经济学的一段公案

在计量经济学发展的早期，研究者还不太注意避免上述陷阱。比如，Griliches and Mason (1972) 在使用 2SLS 估计教育投资回报率时，就犯了类似的错误，未将所有外生解释变量放入第一阶段回归（比如，遗漏了外生变量年龄 age）。Cardell and Hopkins (1977) 在对该文的评论中，指出了这个错误，并得到了与Griliches and Mason (1972) 很不相同的估计结果。从此，将所有外生解释变量均放入 2SLS 的第一阶段回归，成为计量经济学的共识。

参考文献

Angrist, Joshua D. and Jorn-Steffen Pischke, 2009. Mostly Harmless Econometrics. Princeton University Press, Princeton, New Jersey. 

Cardell, Nicholas S. and Mark M. Hopkins, 1977. 'Education, Income, and Ability: A Comment,' Journal of Political Economy, 85, 211-15.

Griliches, Zvi, and William M. Mason, 1972. 'Education, Income, and Ability,' Journal of Political Economy, 80, S74-103. 

陈强，《高级计量经济学及Stata应用》，第2版，高等教育出版社，2014年。