2017年｜夏
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各位好~经常做经验研究的童鞋都知道，内生性问题几乎是研究过程中不可避免的，然而，这一问题的解决历来是一大难题。致力于服务经验研究者的Stata公司也关注到了这方面的强大的需求，并在Stata15中增加了一个专门处理内生性问题的命令模块——Extended regression models (ERMs)，包括eregress, eintreg, eprobit 以及eoprobit等命令。我们将通过一个推文系列对这一模块中涉及的命令逐个进行介绍。
一、语法介绍
在Stata15中输入help eregress命令可知，eregress主要用于处理线性回归中导致内生性的以下三种情况：内生协通过变量，非随机对照试验，以及内生样本选择问题。今天我们主要关注如何使用eregress命令处理线性模型中存在内生协变量的问题，即使用eregress命令进行工具变量回归。
eregress的基本语法如下：
eregress depvar [indepvars], endogenous(depvars_en = varlist_en) [options]
其中，depvar为被解释变量；indepvars为外生控制变量；depvars_en为内生协变量；varlist_en则包括工具变量和影响内生变量的其它控制变量。遵行工具变量法的计量原理，eregress命令会根据用户输入的变量，构建主回归方程（main）和辅助（auxiliary）回归方程，并使用最大似然法对模型进行估计。
二、案例介绍
【小案例】：某项目欲探究学生的高中平均成绩（hsgpa）对大学平均成绩（gpa）的影响（为了使研究更加简化，忽略退学等因素的影响）。因此，这里的被解释变量就是大学平均成绩（gpa），解释变量就是高中平均成绩（hsgpa）。考虑到家庭因素，如家庭收入（income），也可能会对学生的成绩产生影响，也需要对其进行控制。
这里首先构造基本的OLS回归，程序如下：
clear
webuse class10
reg gpa hsgpa income
回归结果显示，hsgpa的系数为1.61，且在1%的水平上显著，表明高中平均成绩会对大学成绩产生显著影响。
然而，此处的OLS回归存在严重的内生性问题——遗漏变量。因为存在一些不可观测因素既会影响高中平均成绩（hsgpa）也会影响大学平均成绩(gpa)。比如高中成绩好的学生可能本身智商(IQ)就很高，其大学成绩好很可能是由智商导致的，而非高中平均成绩。
研究人员通过分析认为一所高中的竞争力会影响学生的成绩，而一旦高中平均成绩(hsgpa)得到控制，高中的竞争力对大学平均成绩(gpa)的影响就可以忽略。因此他们选择高中的排名（hscomp）作为高中GPA的工具变量(IV)。这一IV的选择符合工具变量的筛选标准，首先高中的排名是学生所不能控制的，是独立于学生系统的外生因素，因此排除了其他因素的影响，满足外生性要求。第二是因为高中竞争力和高中生的平均成绩是（hsgpa）高度相关的，一般情况下，排名靠前的高中，学生的成绩也更好。实际操作中，把高中竞争力（hscomp）分为低水平高中（low）、普通高中（moderate）和高水平高中（high）。下面运用eregress命令，进行拓展的线性回归：
eregress gpa income, endogenous(hsgpa = income i.hscomp)
回归结果表格的上部分，报告了主回归方程的估计结果，被解释变量为gpa；回归结果表格的下部分报告了辅助回归方程的估计结果，被解释变量为hsgpa。在辅助回归方程中，我们通过引入外生变量hscomp作为hsgpa的工具变量，同时控制income，来控制内生性带来的影响。主回归方程的估计类似于regress命令，根据回归结果发现高中gpa的不同会导致大学gpa存在1.24的差异。
需要注意的是，虽然eregress回归中，hsgpa的系数相较于OLS回归有所降低，但是其标准误却上升了。如果选择的IV外生性比较差，或者与内生变量之间的相关性较低（弱工具变量），eregress估计的误差也会更大。
三、eregress vs ivreg2
部分童鞋可能会好奇这里的eregress和ivreg2有什么区别呢？这里我们做一个简单的对比。首先，对比eregress，我们生成两个虚拟变量作为hsgpa的工具变量：
tab hscomp, gen(hscomp)
然后使用ivreg2进行估计：
ivreg2 gpa income (hsgpa = hscomp2 hscomp3), liml savefirst
考虑到eregress命令使用的估计方法为最大似然估计，在使用ivreg2时我们也通过加入liml选项将估计方法设置为最大似然估计。一些文献研究发现：（1） 在大样本的情况下，liml估计量和两阶段最小二乘是渐进等价的，而在非大样本的情况下，liml估计量比两阶段最小二乘法具有更好的小样本估计性质，因为在有限样本之中两者对工具变量赋予的权重不同；（2）在工具变量并不十分有效的情况下，尤其是在有限样本中，相对于两阶段最小二乘和广义矩估计，liml的偏误较小。估计结果如下图：
通过对比可以发现，使用ivreg2命令和eregress命令得到的估计结果是相同的。因此，eregress命令包的主要亮点可能在于将处理内生性问题的命令进行了整合，使得code写起来更加简洁。
本文旨在介绍eregress命令的相关用法，对于所选工具变量的有效性并未进行评估；关于计量上的表述错误或者技术上的错误，还请读者不吝指出。
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