【新版】

在现实与数学的不断对冲中

提升能力、深化本质

——张宏伟割铁皮课程设计和教学赏析

【摘要】

这是我师父张宏伟老师独创的一节：全景式数学教育的基础课型之一——“实习课”的经典案例。请来围观，且看我师父是怎样让学生在几番数学与现实的对冲之中，一步步成长为优秀“屠夫”的！

目

录

壹   学习背景和预测

贰   作业反馈和即时课程的生成

叁   师生学习推进过程

      1.  本题研究

      2.  应用推广

      3.  问题变形和升华

            A  第一次变形和升华

            B  第二次变形和升华

       4.  师傅和孩子们的课堂小结

肆   教学意义分析

学贵致用！但是当学生拿着学到的数学事实，面对对应的生活现实的时候，他们会发现，很多现实问题和心中的数学理想模型并不是那么的“一致、和谐和友好”，孩子会常常出现难以调和的“矛盾和冲突”，用自己所谓的“正确知识”，按“正确路径”，自信满满地去解决问题，但问题解决的结果却出人意料，竟然是错误的，由此产生巨大的心理对冲效应。

当这种对冲现象出现后，如何引导学生，通过实际的体验和研究把这些冲突“化干戈为玉帛”，就成为师生必须面对和解决的重要课题。如果教师以此为契机，设计具有针对性的理想课程和教学，则可更好地促进学生认识数学的本质，培养学生数学思维和创新意识，提升学生解决问题的能力，并在更高的层次感悟到数学与现实的和谐和统一，体会到数学内在的价值和美丽。

本文着重介绍我师父张宏伟和他三年级的学生一起演绎地一段精彩的学习经历。那是2016年6月7日星期二，我师父用前一天学生遇到的一道思考题，上了一节别开生面的长时段“实习课”（全景式数学教育的重要课型之一）——我们一起割铁皮。

壹

学习背景和预测

学生刚完成计算长方形和正方形面积的学习任务，初步具备解决利用长方形、正方形面积相关知识解决问题的能力。

练习题源于北京版对应的数学练习册，题目是这样的：有一张长方形铁皮，长41cm，宽20cm，要把它截成边长2cm的正方形铁片，可以截多少个？

我师父布置完作业，就带我分析学生作业可能会出现的情况，说学生可能会出现三种做这道题的方案。三种方案分别如下所示：

【第一种方案】

用铁皮面积除以目标铁皮的边长：

41×20÷2＝410（个）

【第二种方案】

先求整块铁皮的面积：

S₁=41×20=820 cm²

再求目标小铁片的面积：

S₂=2×2=4 cm²

最后求能截成多少个正方形铁片：

S₂÷S₁=820÷4=205 （个）

【第三种方案】

先求沿着长边，一行可以截的个数：

41÷2=20 （个）… 1

再求沿着宽边，一列可以截的个数：

20÷2=10 （个）

最后，用20×10=200个小铁片。

师傅预测：少数学生会用第一种错误的方案去解决，用这个方案解决的学生说明他们对面积和周长的问题还没有真正理解和掌握；绝大数学生都会用第二种方案解决，这类学生较好的理解和掌握了面积的意义和面积的计算，但是他们往往把复杂的实际问题理想化，简单地划归并套用刚刚学过的数学知识，机械地认为在学完面积课后出现的问题，必然用面积的知识去解答，对现实问题的复杂情况考虑不周、应变不足；个别学生会用第三种方案来解决，体现出较强的“具体问题具体分析”的能力。

贰

作业反馈和即时课程的生成

第二天一早，我们检查学生作业的完成情况，结果与之前的预测基本一致，全班只有三个学生采用了第三种方案做这道题，其他孩子竟然都无一例外选择了自认为简洁而正确的解决路径。

我师父立即对那三个孩子进行了访问，了解他们的做题情况，学生A是在家长的帮助下完成的，学生B和学生C是自己解决的。通过孩子讲述自己解决问题的思考过程，可以看出学生B和C理解了这道题的数学本质，而学生A还还没有真正理解。

师父说：“丽君，这个问题是最好的教育教学的资源和机会，一定不要放过！我们要把它做成一个现实与数学对冲的课程，让孩子看到“理想和现实的差距，并从这种差距中收获意外的惊喜，感悟到如何周全、严谨地思考问题。让学生体会面对问题如何具体问题、具体分析，并达成在更高的理解层面，让差距消弭，认识到现实与数学的谐和与统一，感悟到数学奇妙。”

师父立刻设计了一张由820个一平方厘米小正方形格子组成的41cm20cm的“铁皮”，让我立即打印，学生人手3张！（我当时还不明就里，心想为什么要每人打印3张）

叁

师生学习推进过程

1

本题研究

上课后，师傅让孩子们分享自己的做题思路，首先用投影分享用第一种方案解题的作业，让孩子们辨析和评价，这样做的孩子很快认识到了自己的问题所在——切下的是一片片铁皮（面），而不是一条条线段（第一环节的辨析，同时也产生了一个负面的效应：让运用第二种方案解决的孩子更加笃信只能用大面积除以小面积解决）；然后又选择了一位用第二种方案解题的孩子，他自信满满地分享自己的做法：一张整块铁皮面积是41×20=820平方厘米，要剪的正方形小铁片的面积是2×2=4平方厘米，用整块铁皮的面积除以小铁片的面积820÷4=205，也就是整块铁皮里包含205个小铁片。

在辨析第一种方案的基础上，除了学生B和C，其余同学全都认为是对的，这其中竟然包括刚刚被访问过的A。

学生B和学生C“激愤”地反对，并“联手”画了一个草图展示自己的想法：

长41cm的铁皮能截出20个边长为2cm的正方形铁片，最后，剩下的是1cm的铁皮边，1厘米是截不出2厘米的，所以这个题，不能用整块铁皮面积除以小铁片面积，那样，就把剩下的铁皮也算进去了。所以要先看横着一行能剪出几个：

41÷2=20 (个)… 1cm

剩的1厘米，不够了，就不要了，只能剪出来20个。

再竖着看看能剪几行：

20÷2=10(行)

20×10=200(个)

这两位是全班同学一致认同的数学学霸。有几个同学已经理解，表达自己的赞叹和认同，但是大多数同学在认为他们讲有道理的同时，又根深蒂固的认为，自己的做法也是对的，脸上写满了深深的困惑，两种从数学上讲都似乎是无懈可击的做法，竟然得到完全不同的结果，这种冲突，让他们自然进入了愤诽的状态。

师父见时机已到，顺势让我把提前准备好的第一张方格纸发放下去，让孩子们当一次割铁皮的工人，告诉孩子你的笔就是切割刀，在手中的方格纸上开始切割，看一看到底能截出来多少个边长2cm的正方形小铁片。同时，让学生B和学生C担任小老师，观察其它同学的做法，重点指导不会的孩子。

图1：无“焊接”的切割方式

这个环节结束后，所有孩子都明白了，现实往往离理想很远，有些问题的外表是具有迷惑性的，虽然是在大面积铁片上切割小面积铁片，但实际操作时有时候会产生下脚料，致使一些材料废弃。

然后，师傅引导学生进一步讨论辨析，让孩子们认识：这个问题，表面是面积问题，但是实际要转变为长度问题来解决。

正当所有孩子沉浸在这样一道极具迷惑性的难题被成功转化和解决时，学生D突发奇想，认为第二种方法也是对的！她的理由是，我们切割边长为2cm的正方形铁片，虽然最后会剩下宽1cm、长20cm的铁皮，但是这块铁皮并不是完全不能用了啊，我们可以继续截宽1cm、长2cm的铁片，可以刚好截出来10个这样的小铁片，然后再两个两个焊接起来（如图2所示），还可以再焊接出10÷2=5个边长为2cm的正方形铁片，而且还没有剩余！没有剩余就代表把整张铁皮全部用完，所以第二种方案也是对的！

这种方案下的切割方式如图3所示，具体计算过程如下：   

S₁=41×20=820 cm²

S₂=2×2=4 cm²

S₂÷S₁=820÷4=205 （个）

这种算法纯粹是从“包含关系”来解决问题的。

图2：边长2cm的正方形铁皮

图3：“可焊接”的切割方式

这种说法听起来有理，获得了一部分同学的认同和支持，但是，另一部分同学提出反对意见：题目上没写可以焊接，因此，这样想是不对的！学生D的支持者立即反击“题目上也没写不能焊接啊！所以我们想焊接是对的，而且避免了浪费材料。两派孩子的交锋，让这道题似乎一下子变成了一道本身不怎么严谨的“问题题”。

让我又一次意外和惊喜的是：我师父又放大了这一交锋的课程意义：再次通过引导学生思辨、对话，让全班同学明白题目本身没作限制，两个方面都想到才是全面、完整、完美的解决方案，而且还让学生明确了两种方案的使用范围：可以焊接时，第二种方案和第三种方案都可以，但第二种方案更简洁一些，用大面积除以小面积，商即为可以截出的小铁片的数量，余数为下脚料；不可以焊接时，就只能从“长度”角度来解决这一问题了。也就是说，不管是否允许焊接，都可以用第三种方案，即从“长度”角度解决“割铁皮”问题。

2

应用推广

为了让学生进一步理解相关的“切割问题”，师傅又出了一道题：我家里有一间小仓库，长600cm，宽320cm，现在要把整个地面铺成地板砖，地板砖是边长为30cm的正方形，为了美观，地板砖不能拼接，张老师需要买来多少块地板砖？

很显然，这是一道“不能拼接”的题，不能简单地从“大面积里包含多少个小面积”解题，需要从“长度”角度着手。

孩子们自然都选择第三种方案去解决，并都能正确阐述自己的思路：对于长，600÷30=20(块)，表示沿着长边铺20块地板砖，刚好可以把地面铺满；对于宽，320÷30=10(块)…20cm。

但是结果却出现了“20×10=200块”和“20×（10+1）=220块”两种。我师父又重新引导学生辨析，很快学生就明白了：余数20表示沿着宽边铺10块地板砖，将还有20cm的地面空着，需要大半块瓷砖，地板砖不能拼接，仍需再购买一整块，割成长30cm、宽20cm的规格才能把整个地面铺满，也就是说宽需要10+1=11块地板砖；所以，铺张老师家里的地面需要20×11=220块地板砖。

接着，我师父引导学生对比两道题，让学生认识到：同样的“不能拼接”，有时产生无用的“下脚料”，出现“减法”问题，使得切割出来的铁片数量变少；有时需要“整块添补”，出现“加1”问题，使得所需地板砖数量增多。两类题目同一场景的出现，促进学生横向、纵向分别体会“具体问题具体分析”【师傅再次板书：具体问题具体分析】。

3

问题变形和升华

　A　

第一次变形和升华

问题回到41cm*20cm的整张大铁皮，如若问题改为要剪出长3cm、宽2cm的小铁片，不允许焊接，那么，可以剪出多少个小铁片？

这个问题的难度又上升了一个层次，既要满足切割整块小铁片的条件，又是非正方形，这将引出另一个新问题，是横着切割，是竖着切割，还是随便切割？这对学生多角度全面思考问题是一个挑战。对于这个问题，纯粹的语言引导作用有限，直接动手操作会让孩子的理解和掌握更深刻。

题目出来后，全班学生纷纷表示简单，就用第三种方案，转换成长度问题。学生的解答结果分为两类。

第一类学生是纵向地切割：从大铁皮的宽中割3cm，也就是说，沿着长边，一行可以剪的个数为：

41÷2=20 （个）… 1

余1代表沿着长边每次剪2cm，最后将会余出来1cm成为下脚料，不能使用。

沿着宽边，一列可以截的个数：

20÷3=6 … 2

余1代表沿着长边每次剪2cm，最后将会余出来1cm成为下脚料，不能使用。

进而，整张铁皮可以剪出来20×6=120个小铁片。

这种方案，看似有理有据，实则这类孩子已经掉进了师傅预设的陷阱了。

第二类学生是从横向地切割：从大铁皮的长中剪3cm，也就是说，沿着长边，一行可以剪：

41÷3=13 （个）… 2

余2代表沿着长边每次剪2cm，最后将会余出来2cm成为下脚料。

沿着宽边，一列可以截的个数：

20÷2=10

没有余数代表横着刚好够用，没有剩下下脚料。

进而，可以剪出来13×6=130个小铁片。

两种结果呈现后，学生又是一片哗然，同样似乎正确的方案，竟然结果相差了10个，心中的冲突骤起，学生的愤诽再次强烈生成，我师父岂肯放过这个宝贵的生成资源，趁机又让我给学生发第二张41cm*20cm的“铁皮”，让学生按自己的方案动手裁剪。我此时恍然大悟：怪不得让我每人打印3张！

学生通过实际操作很快发现了自己的问题所在：

图4：第一类纵向切割方案

第一类切割情况，如图4，因为最下面的两行格子还可以继续切割，20÷3=6（个）… 2，所以还可以再切割出6个符合标准的小铁片，最终整张铁皮还剩下如下图的紫色部分和绿色部分废弃。所以，整张铁皮一共可以切割的小铁片数量是

120+6=126（个）

我师傅在学生感悟的基础上，第三次板书：具体问题具体分析，补充几个更大的字：“动手实践出真知。”

图5：第二类横向切割方案

第二类解决方案的同学通过操作发现的问题是：最右面的两行格子还可以继续切割，因为20÷3=6（个）… 2，所以还可以再切割6个符合标准的小铁片，最终整张铁皮还剩下如下图的紫色部分废弃。所以，整张铁皮一共可以切割的小铁片数量是

130+6=136（个）

然后，张老师又让我发下了第三张41cm*20cm的方格纸，让第一类的同学按第二类的同学方法再剪一剪，让第二类的同学按第一类的同学方法也剪一剪，这样让每个同学都亲身经历了两种裁剪方案。

至此，横向切割和纵向切割都已经讨论，随便切割怎样操作才能得到最多的小铁片？是否会超过前两种方案中切割出来的数量？张老师追问。

为了得到尽可能多的小铁片，横向切割和纵向切割要搭配起来，如何搭配呢？首先明确的是，横向切割下面不会有剩余，而纵向切割每次切割完都会留下一个2cm*2cm的小正方形。在讨论中，孩子们逐步依次达到了这样的共识：

1、一次横向切割和一次纵向切割不能交叉，因为纵向切割会留下一个2cm*2cm的小正方形铁皮，并废弃无用；

2、一次横向切割不能与两次纵向切割交叉，因为两次纵向切割会留下一个4cm*2cm的长方形，虽然可以再次切割出来一个目标小铁片，但依然有1cm*2cm的铁皮浪费；

3、一次横向切割可以与三次纵向切割交叉，因为三次纵向切割会留下一个6cm*2cm的长方形铁皮，可以再剪出两个目标小铁片，且无任何浪费；

4、连续横向切割的次数不会影响结果，只有连续纵向切割的次数才会影响铁皮是否高效利用，且这个次数需要是3的倍数，以保证没有浪费材料；

5、①尝试一次横向切割与三次纵向切割搭配，一次剪裁长3+2×3=9cm、宽20cm的铁皮，且得到20÷2+6×3+2=30个小铁片；②铁皮总长41cm，可以进行4次这样的搭配切割，得到30*4=120个小铁片，且留下5cm*20cm的铁皮还未切割；③如何处置剩下的5cm*20cm的铁皮，最佳方案是一次横向切割和一次纵向切割搭配，刚好使用完宽边5cm，横向切割得到10个小铁片，无剩余；纵向切割得到6个小铁片，剩下2cm*2cm的小正方形铁片成为下脚料，这也是唯一剩下的下脚料；共计得到120+10+6=136个小铁片。

6、达成共识：横向切割不会产生下脚料，因此连续横向切割的次数不会影响下脚料的生成；纵向切割只需满足连续切割的次数是3的倍数即可，最后一次纵向切割会产生下脚料，且是唯一一次产生下脚料；第二种以横向切割为主是一种特殊情况。

综上，最多可以切割出来136个小铁片，切割方式有很多种，只要满足连续纵向切割的次数是3的倍数即可。

　B　

第二次变形和升华

问题如果变为：对于长41cm、宽20cm的大铁皮，如果要剪出长3cm、宽2cm的小铁片，允许焊接，那么，可以剪出多少个小铁片？

经历完上一个过程，这个问题对学生来说经相当轻松了。问题一提出，孩子们很快说136块！追问为什么，学生说上一种情况下只剩余2cm*2cm的小正方形铁片，即便允许焊接，这个剩余也无法焊接成为目标小铁片了！用算式表达的话，就是

41×20÷(2×3)=136… 4

商136为可以切割出来的小铁片的数量，余数4就表示剩下4平方厘米的小铁片成为废弃的下脚料。

让学生更惊喜的是，这个题目居然又可以直接用大面积除以小面积来解决了！

4

师傅和孩子们的课堂小结

整个教学过程，经历了问题暴露、问题交锋、不同问题对比、问题升华几个过程，学生对于切割铁皮的认识已经上升了一个层次。

在课堂小结的时候，学生们自己就总结到：当可以“拼接”时，用“大面积除以小面积”，不管是否有余数，商即为可切割出来的数量，也可以转化为长度问题，从“长”和“宽”分别能切割多少个的角度来解决；当不可以“拼接”时，就必须要转化为长度问题。转换成长度问题来解决问题更具有一般性，即可以解决所有的切割问题。

同时，孩子们还总结到了，即使是转换成长度问题来解决，也要从“加”、“减”两个角度考虑，始终注意具体问题具体分析。

我师父在学生自己总结的基础上，又给孩子埋下了未来学习的种子。师父说：等到高年级，这种方法可以推广到立体图形的切割，到那时候，你一定要回想我们今天学习的平面铁皮的切割，对比两种方法的具体使用情况。

肆

教学意义分析

剪裁纸张、布匹、铁皮等是现实生活中经常遇到的实际问题，这些问题是提高学生解决问题能力、提升学生数学思维品质，让学生感受数学的价值和意义的好素材、好路径。为此，师傅创生的这节长时段课程虽然课本上没有，但是的确是学生生活和成长之必须。

师傅的这节课，学生经历了多次冲突和碰撞，再结合实操，让学生更加认识到“求可切割的铁片数量”，既是数学的面积问题，又是数学的“长度包含”问题，进一步认识到如果没有根据具体问题具体分析，就不能实现正确的数学问题定向和归类。更加可贵的是，让学生通过实际动手操作，完整全面地理解了割铁皮这个数学问题背后的数学本质。整节课以数学本质为中心，以实操为抓手，让学生体会到根据要切割小铁片的要求不同，会带来解决方案的不同，这同时也是改变这道题解题策略的关键所在，让学生认识到生活实际应用与纯数学的计算不一样，重点培养学生具体问题具体分析、全景解决实际问题的数学素养，也生动地体现了全景式数学教育培养学生的一个基本主张：“让每一位孩子在成长为优秀‘刀匠’的同时，也成为最优秀和卓越的‘屠夫’！”

高丽君：北京航空航天大学硕士，全景式数学教育实验核心成员，北京亦庄实验小学教师，撰写的全景教育案例荣获全国优秀论文一等奖，在国家自然科学基金委员会管理科学部A类期刊《运筹与管理》、IEEE会议等国内外核心期刊发表论文3篇。

全国创新课程峰会全景式数学教育团队专场

图文编辑：高丽君