你真的弄懂了乘除法么?你真的理解抽象的意义么?
本文适合正在给小朋友打数学基础的老师和家长。也适合小学5-6年级的学生收看阅读。思考方式比知识本身更重要。
2003年的一堂数学讨论课
2003年的一个夏天,John Horton Conway(数学家,普林斯顿大学教授)进入到Mathpath的讲堂,一个学生问他,0/0是什么。Conway教授缓缓答道,“它是一个符号”。顿了顿,他补充道,“一个符号没有任何意义,直到有人赋予它内涵。一个更适合的问题应该是,0/0意味着什么?或者更广泛的问题,a/b意味着什么?”
a/b意味着什么?
这里a 和b代表了数的名字。
答案:a/b 代表了数 c, 需要满足 cb = a。
那么 6/2 是什么意义?
答案:它代表了数c, 需要满足 2c = 6。 事实上你会发现只有一个数满足条件,也就是3。所以 “6/2” 意味着3。
0/0意味这什么?
0/0 代表了数 c, 需要满足 0 * c = 0。 那么c取什么值会让这个等式成立呢?是 1, 还是2, 还是 -26/31?
对了! c可以是任意数,满足 0 * c = 0。因此 0/0 不意味着某一个特定的数 - 除非我们赋予它新的意义。
1/0意味着什么?
1/0 代表了数 c,需要满足 0 * c = 1, 但是不存在这样的数, 所以1/0没有意义。更一般的结论是0 不能去除任何数,除了它自己。
0/1 意味着什么?
0/1代表了数c, 需要满足 c * 1 = 0。 所以 c = 0。 所以 0/1 = 0。 类似的 0/b = 0, 对于所有b≠0的数。这也是0独一无二的属性。这隐含着,0和任何非零数相乘都是0。
1/∞意味着什么?
1/∞, 这个符号没有意义,因为∞不是数——无穷只是一个理念。但是假设1/∞代表一个数c, 那么需要满足 ∞* c =1 。所以没有这样的数。
∞/∞意味着什么?
看起来似乎任意正数都能够满足 ∞= c * ∞, 但是这个等式没有意义,因为∞不是一个数。所以∞/∞没有意义.
0^0意味着什么?
在回答这个问题之前,我们想问问 0^n意味着什么(假设n是一个整数)。
比如,0^3 = 0 * 0 * 0。
0^1 = 0。
所以 0 ^n意味着这样0 连乘 n 次的字符串的值。那么 0^0,代表着0 连乘 0 次的字符串。但是这样的字符串没有值也没有意义。
a^0意味着什么?
同样的它意味着这样一个字符串的值:a连乘0次。但是 a^0 = a^(n-n)= a^n / a^n, 假设n≠0, a≠0。 所以,我们给a^0赋值为1,当a≠0的时候。
∞^0意味着什么?
因为∞不是一个数, 因为这个符号没有意义。
需要额外说明的是 0/0也被称作不定元,因为c可以取到任何值。虽然也有人把称作∞/∞不定元,但是它根本不是,因为∞不是数字,∞/∞也就没有意义。还有些人把 1/0 称作无限,因为他们觉得 1/0 是 n = 1/(1/n)的极限 【n取无限大】,但是实际上经过上述讨论,我们发现 1/0没有值。还有一些流行的说法,比如 1/∞的值是 0,因为他们觉得它是 1/n的极限【n取无限大】,然而,我们发现 1/∞不代表0。
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