美国天才数学营的教学方式

你真的弄懂了乘除法么？你真的理解抽象的意义么？

本文适合正在给小朋友打数学基础的老师和家长。也适合小学5-6年级的学生收看阅读。思考方式比知识本身更重要。

2003年的一堂数学讨论课

2003年的一个夏天，John Horton Conway（数学家，普林斯顿大学教授）进入到Mathpath的讲堂，一个学生问他，0/0是什么。Conway教授缓缓答道，“它是一个符号”。顿了顿，他补充道，“一个符号没有任何意义，直到有人赋予它内涵。一个更适合的问题应该是，0/0意味着什么？或者更广泛的问题，a/b意味着什么？”

a/b意味着什么？

这里a 和b代表了数的名字。

答案：a/b 代表了数 c， 需要满足 cb = a。

那么 6/2 是什么意义？

答案：它代表了数c， 需要满足  2c = 6。 事实上你会发现只有一个数满足条件，也就是3。所以 “6/2” 意味着3。

0/0意味这什么？

0/0 代表了数 c， 需要满足  0 * c = 0。 那么c取什么值会让这个等式成立呢？是 1， 还是2， 还是 -26/31？

对了！ c可以是任意数，满足 0 * c = 0。因此 0/0 不意味着某一个特定的数 - 除非我们赋予它新的意义。

1/0意味着什么？

1/0 代表了数 c，需要满足  0 * c = 1, 但是不存在这样的数， 所以1/0没有意义。更一般的结论是0 不能去除任何数，除了它自己。

0/1 意味着什么？

0/1代表了数c， 需要满足 c * 1 = 0。 所以 c = 0。 所以 0/1 = 0。 类似的 0/b = 0, 对于所有b≠0的数。这也是0独一无二的属性。这隐含着，0和任何非零数相乘都是0。

1/∞意味着什么？

1/∞， 这个符号没有意义，因为∞不是数——无穷只是一个理念。但是假设1/∞代表一个数c， 那么需要满足 ∞* c =1 。所以没有这样的数。

∞/∞意味着什么？

看起来似乎任意正数都能够满足 ∞= c * ∞, 但是这个等式没有意义，因为∞不是一个数。所以∞/∞没有意义.

0^0意味着什么？

在回答这个问题之前，我们想问问 0^n意味着什么（假设n是一个整数）。

比如，0^3 = 0 * 0 * 0。

           0^1 = 0。

所以 0 ^n意味着这样0 连乘 n 次的字符串的值。那么 0^0，代表着0 连乘 0 次的字符串。但是这样的字符串没有值也没有意义。

a^0意味着什么？

同样的它意味着这样一个字符串的值：a连乘0次。但是 a^0 = a^(n-n)= a^n / a^n, 假设n≠0， a≠0。 所以，我们给a^0赋值为1，当a≠0的时候。

∞^0意味着什么？

因为∞不是一个数， 因为这个符号没有意义。

需要额外说明的是 0/0也被称作不定元，因为c可以取到任何值。虽然也有人把称作∞/∞不定元，但是它根本不是，因为∞不是数字，∞/∞也就没有意义。还有些人把 1/0 称作无限，因为他们觉得 1/0 是 n = 1/(1/n)的极限 【n取无限大】，但是实际上经过上述讨论，我们发现 1/0没有值。还有一些流行的说法，比如 1/∞的值是 0，因为他们觉得它是 1/n的极限【n取无限大】，然而，我们发现  1/∞不代表0。