椭圆定义

第一定义

平面内与两定点

的距离的和等于常数

的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：

第二定义

平面内到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数（即椭圆的离心率，e=c/a）的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）　其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a2/c[焦点在X轴上]；或者y=±a2/c[焦点在Y轴上]）。

其他定义

根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为e2-1，可以得出：

在坐标轴内，动点（x,y）到两定点（a,0）（-a,0）的斜率乘积等于常数m（-1<><>

注意：考虑到斜率为零时不满足乘积为常数，所以x=±a无法取到，即该定义仅为去掉两个点的椭圆。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

椭圆公式大全

面积公式

S=π（圆周率）×a×b（其中a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长）。

或S=π（圆周率）×A×B/4（其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长）。

周长公式

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长（L）的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如

L = ∫[0，π/2]4a * sqrt（1-(e*cost)²)dt≈2π√（（a²+b²)/2） [椭圆近似周长]，其中a为椭圆长半轴，e为离心率

椭圆的准线方程　x=±a2/c

离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0<><>

e=c/a(0<><1），因为2a>2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。

椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c,0）与准线x=+a2/c) 的距离为b2/c

离心率b/a与的关系：

焦半径

焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点）

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

焦点在y轴上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey(F2,F1分别为上下焦点）

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，即|AB|=2*b2/a

斜率公式

过椭圆上x2/a2+y2/b2=1上一点（x，y）的切线斜率为 -b2X/a2y

三角面积

若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上，且第三个顶点在椭圆上

那么若∠F1PF2=θ，则S=b2tan（θ/2）。

曲率公式

K=ab/[(b2-a2）（cosθ）2+a2]^3/2

准线方程

通径

l=2b2/a

圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦

椭圆中的通径是通过焦点最短的弦

椭圆的方程

标准方程

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

1）焦点在X轴时，标准方程为：x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0)

2）焦点在Y轴时，标准方程为：y2/a2+x2/b2=1 (a>b>0)

椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a，F1,F2之间的距离为2c。而公式中的b2=a2-c2。b是为了书写方便设定的参数。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n）。即

标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx0/a2+yy0/b2=1。椭圆切线的斜率是：-b2x0/a2y0，这个可以通过很复杂的代数计算得到。

一般方程

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+1=0（A>0，B>0，且A≠B）。

参数方程

x=acosθ ， y=bsinθ。

极坐标

（一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上）

r=a（1-e2）/（1-ecosθ）

（e为椭圆的离心率=c/a）