求解导数压轴题的零点效应与策略

新课标强调指出:高中数学以学生发展为本,培育科学精神和创新意识,提升数学学科核心素养,树立敢于质疑、善于思考、严谨求实态度,注重信息技术与数学课程的深度整合等[1].本文以2020全国卷I高考导数压轴题的解法为例,对如何引导学生进行自主解题与探索,在疑难中独立思考,在创新思维中应对问题,并在“端点效应”不适的基础上,提出了“零点效应”解题思路,以求于同行.

一、题目回顾

试题 已知函数f(x)=ex+ax2-x.

(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;

(2)当x≥0时,

求a的取值范围.

二、解法探析

第(1)问较易,这里只讨论第(2)问.

视角1 字母讨论

解法

等价于

设

则

(i)若2a+1≤0,即

则当x∈(0,2)时,g′(x)>0,g(x)在(0,2)单调增,又g(0)=1,故在区间(0,2)内g(x)>1,不合题意.

(ii)若0<2a+1<2,即

同理易知g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)单调减,在(2a+1,2)单调增.结合g(0)=1,可知g(x)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)e-2≤1,即

所以,当

时,g(x)≤1.

(iii)若2a+1≥2,即

则

因为

故由(ii)可得

即

时,g(x)≤1.

综上,a的取值范围是

评注 高考导数压轴题长期有“无讨论不压轴”的传统.求解含参的导数问题的通性通法是讨论,因此在标准解答中首选“讨论”解题策略,对落实四基、强化四能,培养数学核素养起到奠基的作用.

视角2 分离参数

解法2 依题意,x≥0时,

当x=0时,不等式显然成立.

当x>0时,分离参数a,可得

由

令

则h′(x)=ex-x-1,h″(x)=ex-1≥0,故h′(x)单调增,h′(x)≥h′(0)=0,得h(x)单调增,h(x)≥h(0)=0.故当x∈(0,2)时,g′(x)>0,g(x)单调增;当x∈(2,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调减.因此,

综上,实数

评注 由于对字母讨论是学生的弱点,通常难以讨论完整,因此分离参数是师生处理此类问题的另一重要策略,使用此法常多于讨论法,在解题实践中能提升创新意识,找到更符合学生的“自然”解题思维.

视角3 端点效应解题

再看网上盛传的“端点效应”的解答.

解法3 依题意,

恒成立.因

再由g(0)=0,g′(0)=0,g″(0)=1+2a≥0,解得

(必要性),下证

成立(充分性略).

反思 在导数含参数恒成立问题中屡建奇功的“端点效应”失灵了?难道是“端点效应”应用不对,还是 “端点效应”对这道函数题“水土不服”?

下面利用几何画板画出a取不同数值时的函数g(x)的图象如图1-3.

可见g(x)在(0,2)内随着a的取值不同,图象会出现凹凸反转,也就是函数在区间(0,+∞)有可能出现两个零点!而不是只有一个零点(限于中学内容,只研究函数有1个或2个零点的情形,以下同).鉴于往常使用端点效应的函数都只有一个零点,且端点就是零点,同时函数是恒单调的,因此由端点效应求出的必要性也就顺理成章成为充分性,导致解题时能屡试屡爽而不失灵,其实是图象的特殊性掩盖了“端点效应”解题的不严谨性.

对于有两个零点的函数,如何寻找第二个零点呢,或者说如何判断所求函数是一个零点还是两个零点呢?这是解决此类问题的关键.经过对函数图象的分析,我们可以判断函数的零点(区间端点除外)也往往是极值点,由此可用以下方法求得.

设g(x)的零点为x0.由

可得

即

解得x0=0 或x0=2.可见本题确有两个零点,这也说明了前面“端点效应”失灵的原因.

考虑到g(x)≥0恒成立,应使g(2)≥0,g′(2)≥0,解得

由g(0)=0,g′(0)=0,g″(0)≥2,解得

综合这两种情形,可得

我们将上面的解题方法称为“零点效应”.可见端点效应是零点效应特殊情形,零点效应是端点效应的拓展;零点效应能够解决双零点问题,以及零点不在区间端点的含参导数恒成立问题.因此,在应用“零点效应”解题时,应该先找全函数的零点,再利用函数在零点处的函数与导数值非负(正),从而求出参数的取值范围.

评注 从“端点效应”的不适进行探究,在信息技术的支持下探究新方法,寻找新思路,认识新技能,培养理性精神,创新思维活化思路,从而找到“零点效应”解题策略,并修正了“端点效应”的局限性,开拓了新的思维.

三、零点效应

现提出“零点效应”的解题模型与使用.

已知含参函数g(x),在区间[a,+∞)上g(x)≥0恒成立,求参数范围.

1. “零点效应”解题模型

第一步:求出函数的零点,即由g(x0)=0,g′(x0)=0解出x0(可能不只一个);

第二步:求出参数的取值范围,即由g(x0)=0,g′(x0)≥0或g(x0)=0,g′(x0)=0,g″(x0)≥0,或g(x0)≥0,g′(x0)≥0等求出参数的取值范围.

2.“零点效应”适用条件

对于含参导数恒成立问题,所求函数只有一个零点或者有两个零点,并且函数值非负,如图4-6所示情形.

3.“零点效应”解题举例

例题 (2020年山东高考题)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.

(1)略；

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

解 (2)由f(x)≥1,得aex-1-ln x+ln a-1≥0,记g(x)=aex-1-ln x+ln a-1,则

设x0为g(x)的零点.由

得

易知该方程有唯一解x0=a=1.