例谈如何突破解析几何的超量运算

数学运算是数学核心素养之一，解析几何是考查数学运算能力的压轴题.众所周知，解析几何是利用代数的方法研究平面几何的问题，在高考和竞赛中，涉及圆锥曲线的问题，超量的运算让学生感到头疼.那么如何破解这个难点呢？本文试图以一道竞赛试题为题，运用四种运算技巧破解解析几何运算难题，希望能够引起共鸣，让解析几何的运算有章可循，有法可依.

一、例题解法算理呈现，探究运算过程

例题 (2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛)已知椭圆

的离心率为

并且过点P(2，-1).

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过P点作两条直线交椭圆C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值.

分析：这个类型试题高考和竞赛中考查频率比较高.第一问解题过程略，椭圆的方程为

第二问容易转化直线PA，PB关于直线PQ对称即斜率kPA+kPB=0.

(一)借助降幂，整理方程

解析几何中一般需要一条直线和圆锥曲线联立消去x或y，得到关于x或y的一元二次方程，接着使用判别式、韦达定理解决问题，但在这个运算过程中容易产生错误.如果始终按照某元为主元降幂整理代数式或方程，把注意力集中到系数上来，整理代数式或方程可以迅速、准确求得.

例题解法角度1(部分)

设直线PA的方程为y+1=k(x-2)(斜率显然存在)且A(x1，y1)，直线PB的方程为y+1=-k(x-2)且B(x2，y2).

由

联立消去y，得x2+4(kx-2k-1)2-8=0⟹怎么算？

特别是(kx-2k-1)2打开有9项，接下来是大多数学生容易算错的一步.如何处理？究竟以什么计算方法，才能准确无误地得到一元二次方程呢？为了解决这类问题，我们通常只要按照x降幂整理方程，特别要关注二次项系数、一次项系数和常数项，这样直接填空式的整理方程，事半功倍.于是化为(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+4(2k+1)2-8=0.

对于得到关于x的一元二次方程，我们都需要考虑判别式Δ=b2-4ac(一元二次方程ax2+bx+c=0，a≠0)的符号，对于这个式子的整理计算量比较大，主要因为次数比较高，项数比较多容易丢失或算错一些项，我们这里如果也使用降幂方法，可以迅速化解困难.即Δ=(8k(2k+1))2-4(4k2+1)(4(2k+1)2-8)=64k2(2k+1)2-16(4k2+1)((2k+1)2-2)最高次项64k2(2k+1)2可以和后面乘开的项相消，因此只剩下的三项类似于两项乘以两项的展开式的一次项和常数项，于是Δ=-16((2k+1)2-8k2-2)=-16(-4k2+4k-2)，再整理为Δ=16[(2k-1)2+1]>0.(这个运算方法在圆锥曲线中发挥重要作用)

评注：对于(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd(a≠0，c≠0)恰当运用，可以让我们的计算准确率大大提高，特别是当字母a，b，c，d表示多项式时.

(二)借助已算，同理推算

例题解法角度1(续部分)

上面整理的一元二次方程(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+4(2k+1)2-8=0，由韦达定理得

即

由于直线PA和直线PB斜率互为相反数，根据已算x1及结构形式，容易用-k替换k易得x2，从而同理推算

于是

所以直线AB的斜率：

即直线AB的斜率为定值

评注：(1)这种类型的计算如果两条直线垂直k1×k2=-1，或两条直线斜率线性相关k1=λk2+μ等形式，均可以借助已算，同理推算.(2)计算过程始终注意按照主元降幂整理式子.

(三)借助无意，分解因式

例题解法角度2

设直线AB的方程为：y=kx+t，由于直线AB不过定点P(2，-1)，即2k+t+1≠0.

由

联立消去y，得x2+4(kx+t)2-8=0，于是(1+4k2)x2+8ktx+4t2-8=0，从而要满足Δ=(8kt)2-4(4k2+1)(4t2-8)=64k2t2-16(4k2+1)(t2-2)=16(8k2-t2+2)>0，所以由韦达定理得

由题意kPA+kPB=0，即

整理得(x1-2)·(y2+1)+(x2-2)·(y1+1)=0，即(x1-2)·(kx2+t+1)+(x2-2)·(kx1+t+1)=0. ①

2kx1x2+(t+1-2k)(x1+x2)-4t-2=0.(按照x1，x2降幂运算法则整理方程)

2kx1x2+(t+1-2k)(x1+x2)-4t-2=0，把两根关系代入得

去分母化为k(2t2-4)+(t+1-2k)(-2kt)-(t+1)(4k2+1)=0. ②

对于②式次数最高三次的，如果直接乘开进行运算，项数太多，整理起来难度较大，因此需要采用合理运算法则，才能正确、迅速、简捷地整理好方程.整理方程代数式最重要的法则之一就是按照某元降幂排列，效果显著.

第一种整理思路，按照t的降幂整理方程如下：

(2k-2k)t2+(-2k+4k2-4k2-1)t-4k2-4k-1=0，即(2k+1)t+(2k+1)2=0，降次分解因式为(2k+1)(2k+t+1)=0，而2k+t+1≠0，所以

第二种整理思路，按照k的降幂整理方程如下：

(4t-4t-4)k2+(2t2-4-2t2-2t)k+(t+1)=0，于是(2k+1)t+(2k+1)2=0，即(2k+1)(2k+t+1)=0，所以

即直线AB斜率为定值

评注：(1)①②式均按照相应的字母降幂整理二次三项式型方程；(2)注意到直线AB不过点(2，-1)，因此点对直线无意义，即关于②式分解因式降幂中起到关键作用.

以上几种算法的解题思路是在充分理解了计算目标，计算步骤和步步有依据的同时抓住问题条件中不同数学形式表达、明算理，优方法指导下的一次解题运算探究.我们很多学生甚至教师简单的认为，解析几何是运用代数的方法解决几何的问题，就是联立方程组解方程、消参、得判别式、韦达定理、求弦长、算点到直线距离等一通计算.实则这是缺乏对数学运算和解析几何特点的认知误区.我们教师在教学中要明算理，设置好典型试题教学，通过实例与学生亲历运算过程，在过程中认知解析几何的平面几何特征以及代数解决问题运算特点、法则，并与学生一起探讨运算困难、障碍、陷阱，从而在充分分析几何特征的基础上，代数运算的难度才有可能降低.

二、深度理解运算能力特点，培养运算能力

运算能力不可能独立存在和发展，而是与思维能力、观察力、记忆力、理解力、想象力等能力互相渗透、互相依存.特别是运算过程涉及大量的、复杂的逻辑推理，这是与思维能力紧密相关，其中既体现了依据数学原理、公式、法则对算式进行变换操作的过程中表现的正确、灵活和熟练的程度，又体现深刻理解算理基础上，能根据问题条件寻求合理、简捷的运算途径的水平.在日常教学中教师要循序渐进地促进学生运算能力的发展，如本文中降幂整理数式，运用两项乘以两项展开式特点，化无意为有用，整体代换等思想，均是最基础的计算规律.教师还可以经常使用全字母式的联立方程组、整理判别式、韦达定理，并运用前面式子表示出点的坐标、弦长、三角形面积或弦长线段、面积之比等，从而在具体运算时掌握式子的特点、注意事项，进而在考试中提高运算速度、准确度，促进学生形成对解析几何运算信心的良性循环.