解法指导
1.利用坐标计算数量积
第一步,欲计算两个向量的数量积,先根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标,求解过程要注意方程思想的应用;第二步,根据数量积的坐标公式进行运算即可.
2.根据定义计算数量积
求向量a,b的数量积a·b,有以下两种思路:
(1)若两向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算.
(2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a,b,然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解.
3.根据数量积求参数的值
若已知两平面向量的数量积,则根据坐标公式或定义列出含有参数的方程,再解方程即可.
已知点A,B,C满足||=3,|
|=4,||=5,则·+·+·的值是 .
思路分析
根据给出的向量模长的关系可知△ABC为直角三角形,因此三个角的余弦值都可求出,这样利用向量数量积的定义即可求解.另外,若能从整体上把握题目给定的条件和待求向量式的关系,那么容易想到对++=0两边平方进行求解.
解析
解法一 如图,根据题意可得△ABC为直角三角形,且B=,cos A=,cos C=,
所以·+·+·
=·+·
=4×5cos(π-C)+5×3cos(π-A)
=-20cos C-15cos A
=-20×-15×
=-25.
解法二 易知++=0,
将其两边平方可得
+++2(·+·+·)=0,
故·+·+·=-(++)=-25.
点评 解法一直接利用了向量数量积的定义,将所求问题放在一个直角三角形中来求解,求解时注意两向量夹角的选取;解法二抓住了“三向量模的平方和”与“三向量两两数量积的和”之间的关系.相对来说解法二更加简捷,原因就在于解法二从整体上把握了已知与所求之间的关系.
(1)在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则·等于
A.-16 B.-8 C.8 D.16
(2)已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若a∥b,则a·b等于
A.-10 B.-6 C.0 D.6
思路分析
(1)在直角三角形中,求出两向量,夹角的余弦值,然后求数量积;
(2)由向量平行求出x的值,然后利用向量数量积的坐标运算求解.
解析
(1)因为cos A=,所以·=||||cos A=AC2=16.
(2)由a∥b得2x=-4,即x=-2,故a·b=(1,2)·(-2,-4)=-10.
答案 (1)D (2)A
解题突破
jietitupo
1.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
2.两向量a,b的数量积a·b与代数中a,b的乘积写法不同,不应该漏掉其中的“·”.
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