线性代数到底在讲什么?
不理解的知识,当然不会用!
本课程是专栏《20堂课极速理解线性代数》的精华凝炼图文版,10堂课帮助您真正从直观角度理解、消化、吸收线性代数的核心概念与核心算法。
对于矩阵乘法的本质意义有了初步的认识后,对于许多应用场景就非常清晰了,一般都是“方法x对象”,或者具体地讲几何意义,即“坐标系x坐标”。
解释一句:
坐标系 代表着运动,因为运动是相对的,坐标系的运动就意味着坐标的运动。
而运动,就是对于坐标这个对象,施加了一个方法,数学里称为“变换”。
但是,有时候还是会遇到一种特殊的应用,那就“坐标x坐标系”,这让人很糊涂,不知道什么时候左乘,什么时候右乘。
咱们研究矩阵P(对象),对于P进行左乘,可视化后,比较容易理解:
P 左乘A,表示P 进行了A 变换,A 是在绝对坐标系I中表示的。
所以其实,AP 也可以写成 IAP,因为A就是在 I 中这么表示的。
而右乘呢?
注意看,PB 中的两个箭头,分别是P中箭头的1倍长和2倍长,而并没有改变方向,足以看出与上面左乘的区别。
还是研究矩阵P,这时P在左,B在右,意义是:
P 右乘B,表示P 进行了B 变换,B 是在相对坐标系P中表示的。
再解释一下,这里的B,并不是我们实际看到的B,而是在相对坐标系P中表示为B。
上面的A是在绝对坐标系I中表示为A。
无论左乘右乘,如果认定P是对象,那么A 和B 就都是“方法/坐标系”,惟一区别是,左乘的A是在绝对坐标系中表示的,而右乘的B是在相对坐标系中表示的。
再总结一下:
一个矩阵的意义,往往是,理解为它是在它左面那个矩阵的坐标系里表示的,比较好理解。
上面我们研究了AP 和 PB,是为了由此引出相似矩阵的意义,如果有:
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