旋轮线方程怎么推导出来的？

旋轮线顾名思义就是一个旋转的轮子上某点画出的轨迹，又叫做摆线。它的图像与参数方程如下图所示：

在这里，a是轮子的半径。请注意，这个轮子是只滚动不打滑的，物理上叫做“无滑滚动”。而且，这个滚动是匀速的，不像有的人骑自行车，是忽快忽慢的。

角度theta当然就是转动角了，很明显，当theta从0开始变360度的时候，整个曲线就会重复。

那么，怎么样才能写出这个曲线方程呢？

我们可以把运动分解为两部分，x方向与y方向，我们用参数方程把这两部分写出来就可以了。

x方向是均匀直线运动再叠加上一个旋转运动在x方向的投影。旋转运动在x方向的投影其实是一个简谐振动，我们把时间t用角度theta来表出——因为旋转是均匀的，所以时间t与转动角theta成正比，比例系数是角速度。这样，我们就得到了x方程的运动方程。

y方向其实就很简单了，它是旋转运动在y方向的投影，所以它是一个简谐振动。因此，我们把y方向的运动方程也能写出来。

这样，我们就得到了x与y方向的运动方程了。

旋轮线方程就是上面的方程组。你可以把角度theta消除，就可以得到x与y的关系。当然了，这个事情不好干，不如写成参数方程的样子就好了。

人们发旋轮线具有如下非常有趣的性质：

1．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。而且它的长度是一个有理数，与圆周率无关。

2．在旋轮线弧线下的面积，刚好是旋转圆面积的三倍。