函数图像背景下的动点几何问题考查了学生综合应用函数、几何知识解决实际问题的能力，这里既是对学生创新意识的培养，也是对学生基本功是否扎实的一种检验。经历体验能培养学生数形结合、分析问题和解决问题的能力，也体现数学解题的一个基本思想方法就是设法将问题化归为熟悉的或已解决的问题。
解决这类问题的主要困难首先是注意到如何在动中求静，在静中求解，确定动点运动过程中的三类点，即起点、界点（有的题中存在多个界点）和终点，由界点值划分范围，分类讨论，依据题意确定分类标准（通常情况下，为了书写方便简洁，可将界点值归入动态的范围），然后进行分类计算（对于几何图形问题，通常需要根据相似、三角函数、勾股定理以及图形面积建立方程等数学模型计算）
1．如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P，Q是对角线BD上的两个动点，点P从点D出发沿BD方向以1cm/s的速度向点B运动，运动终点为B，点Q从点B出发沿着BD的方向以2cm/s的速度向点D运动，运动终点为D．两点同时出发，设运动时间为x（s），以A，Q，C，P为顶点的四边形的面积为y（cm²），y与x的函数图象如图②所示，根据图象回答下列问题：
（1）求a的值，并解释点N的坐标实际意义；
（2）当x为何值时，以A，Q，C，P为顶点的四边形的面积为4√3cm²？
（3）在整个运动的过程中，若△AQP为等腰三角形，请直接写出符合条件的所有x的值．
【分析】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，一次函数的应用，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．
【解答】（1）如图①中，连接AC交BD于点O．
由题意：点N的实际意义表示x＝3时，点Q运动到点D，∴BD＝2×3＝6，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
变式1-1．（2019·焦作一模）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
变式1-2．（2019·虞城县一模）如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P、Q出发ts时，△BPQ的面积为ycm²，已知y与t的函数关系如图2所示（其中曲线OM为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）当点P在ED上运动时，连接QD，若QD平分∠PQC，则t的值为_______ ．
【解析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意和函数图象可以得到BE和BC的长，然后根据当t＝5时，y＝10可以得到AB的长，然后根据QD平分∠PQC，可得DG＝DC，进而可以求得相应的t＝14﹣2√5，故答案为：14﹣2√5．
2．如图①，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BA＝BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线 BA﹣AD﹣DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）AD＝______ cm，BC＝_______ cm；
（2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义；
（3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于5．
【分析】本题主要考查了分段函数的应用、梯形的性质以及函数解析式的求法，能够正确的理解分段函数的意义是解答此题的关键．
【解答】（1）由图可知：OM段为抛物线，此时点E、F分别在BA、BC上运动；当E、A重合，F、C重合时，t＝5s，
∴AB＝BC＝5cm；故答案为：2，5；
（2）过A作AH⊥BC，H为垂足，由已知BH＝3，BA＝BC＝5，∴AH＝4
∴当点E、F分别运动到A、C时△EBF的面积为：1/2×BC×AH＝1/2×5×4＝10，即a的值为10，点N所表示的实际意义：当点E运动7s时到达点D，此时点F沿BC已运动到点C并停止运动，这时△EBF的面积为10 cm²；
变式2．（2019·温岭市一模）如图1，AB是曲线，BC是线段，点P从点A出发以不变的速度沿A﹣B﹣C运动，到终点C停止，过点P分别作x轴、y轴的垂线分别交x轴、y轴于点M、点N，设矩形MONP的面积为S运动时间为（秒），S与t的函数关系如图2所示，（FD为平行x轴的线段）
（1）直接写出k、a的值．
（2）求曲线AB的长l．
（3）求当2≤t≤5时关于的函数解析式．
3．（2019·准格尔旗一模）如图，已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，直接写出△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、三角形的面积、梯形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次（一次）函数解析式；（2）分点E在线段AC上及点E在线段AC（或CA）延长线上两种情况，求出点E的坐标；（3）利用分割图形求面积法，找出S△APC关于x的函数关系式．
【解答】（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：-1-b+c=0,-4+2b+c=3，解得：b=2,c=3，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x²+2x+3．
设直线AC的函数关系式为y＝kx+a（k≠0），将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝kx+a，得：-k+a=0,2k+a=3,解得k=1,a=1,
∴直线AC的函数关系式为y＝x+1．
变式3.如图，已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）过点A（3，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，﹣3），点P是抛物线AC间上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A、C不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，直接写出点P的坐标；
（3）求线段PD的最大值，并求最大值时P点的坐标；
（4）在问题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）利用待定系数法直接求出函数的解析式；
（2）△ADP是直角三角形时，点P的坐标有2个．
【点评】做这类动点存在性问题题时,假设问题存在，能够对题目所给条件进行转化,合理设参数,将点坐标转化为相应的线段长,再根据题目条件合理构造相似、全等,或者利用锐角三角函数,将这些线段与题目构建起联系,再进行相应计算求解.
方法总结：解决函数图像背景下的动点问题与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解．
首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在'动'中求'静'，在'静'中探求'动'的一般规律．其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论，较为精确地将每种情况一一呈现出来．再次，要学会将动态问题静态化，即将动态情境化为几个静态的情境，从中寻找两个变量间的关系，用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等，很多情况下是与三角形的相似和勾股定理等联系在一起的，在整个解题过程中，要深刻理解分类讨论、数形结合、化归、相似等数学思想.
解答过程中应明确数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化，这样就有了清晰的轮廓：重要函数+基本图形+运动变化。大力提倡核心素养的今天，在复习过程针对函数与几何综合问题建议如下：
1. 养成画图的习惯
通过多种途径和方法使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路的益处。无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维上产生的。
2. 让图形动起来
运用信息技术活教具（如几何画板），展示图形的运动过程，细致观察变化规律（'形'引起'量'变或不变），体会'变中不变'的思想。通过运动变化是培养几何直观的好方法。
3. 对'数'到'形'两个角度的深化认识
数形结合首先是对知识、技能融会贯通时认识和理解，然后逐步发展成一种对数与形的化归与转化意识，这种对数学的认识和运用能力，是正确形成数学态度的关键。
4. 掌握、运用一些基本图形解决问题
学习中应掌握一些基本图形，不断地运用这些图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，培养模型思想（包含函数思想）、化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想是教学的主要目标。
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