所谓悖论，英文是paradox，是指表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。
悖论大致有三种情况。
第1大类：看起来错误，实际上正确（佯谬）。
物理中很多例子的诸如 光速不变性，相对时空、不确定性原理，波粒二象性等都属于此类，数学上有大旅馆悖论、巴拿赫－塔斯基悖论、伪阳性悖论等，经济学上有阿罗的不可能性悖论等等。
1.1大旅馆悖论：一个有有无限个房间的大旅馆，即使住满了人还是可以住进新的旅客。比如来了三个新旅客，可以让1号房的客人住到4号房，2号住5号……这样1～3号房间就空下来了。
1.2巴拿赫－塔斯基悖论：将一个三维实心球分成有限部分，然后通过旋转和平移进行重新组合，就可以组合成两个和原来的球体直径一样的实心球。
1.3伪阳性悖论：对于极少人患病的疾病，和针对该疾病的一种对绝大多数患者检测呈阳性，而对绝大多数非患者检测呈阴性的测试，如果某人的测试结果是阳性的，其没有患病的概率反而更大。比如：某疾病的患病率只有万分之一，一种试剂对患病者测试99%呈阳性，而对非患病者98%呈阴性。即P（疾病）= 0.0001，P（非疾病）= 0.9999，P（阳性|疾病）=0.99, P（阴性|疾病）=0.01，P（阳性|非疾病）＝0.02，P（阴性|非疾病）＝0.98对于检测呈阳性的病人，有P（疾病|阳性）＝P（阳性|疾病）* P（疾病）/ [P（阳性|疾病）* P（疾病）+ P（阳性|非疾病）* P（非疾病）] ＝ 0.99 * 0.0001 / [ 0.99 * 0.0001 + 0.02 * 0.9999 ] ＝0.5%P（非疾病|阳性）＝P（阳性|非疾病）* P（非疾病）/ [P（阳性|疾病）* P（疾病）+ P（阳性|非疾病）* P（非疾病）] ＝ 0.02 * 0.9999/ [ 0.99 * 0.0001 + 0.02 * 0.9999 ] ＝99.5% 即检测呈阳性的病人只有0.5%的可能性患病。
1.4不可能性悖论：多个人对于有三个以上选择进行任意排序，然后对每个人的排序结果进行综合，产生一个综合排序，则不可能存在一种综合排序方法同时满足以下三个条件：
a.一致性：即综合排序必然符合所有人都同意的的排序；
b.非独裁性：即不存在任何一个人，能够使得综合的结果总是和他的个人排序的结果一致；
c.无关项独立性：即如果有人排序改变，但是对于其中两个选择的相对顺序不变，那么综合结果中这两个选择的相对顺序也不变。
第2大类：看起来正确，实际上错误（似是而非论）。
比较有名的有基诺悖论，信封悖论。
2.1基诺悖论：其实是由三条悖论组成的：
悖论a：跑得快的人（甲）永远也追不上跑得慢的人（乙），因为每当甲追到乙之前所在的位置的时候，乙就已经前进了一些了，所以甲永远也追不上乙；
悖论b：运动不存在，因为要从甲地到达乙地，必须先到达两地的中间点，要到达中间点，必须要先到达1/4点，这个过程永远也结束不了，所以运动是不可能的；
悖论c：飞矢不动，因为一只飞矢在任何时刻都占据了一个确定的位置，即在任何时刻它都不是移动的，所以飞矢就是不动的。
2.2信封悖论：现有两个装钱的信封，已知一个信封中装的钱数是另一个的二倍。现在让你随便挑选一个拿走，问当你选好一个之后，你是否应该改主意？假设你选好的信封里是4X元，那么通过概率论很容易知道，改主意的话有一半的可能你会拿到2X元，另一半的可能你会拿到8X元，改主意之后所拿到的钱的数学期望是: (2 X + 8X ) / 2 = 5X > 4X 元，也就是说你改一次主意应该会拿到更多的钱，同样的道理，再改一次主意（改回原先选的信封）又会拿到比改一次更多的钱，以此类推，只要不停地改主意，获得钱的总数就会不断增加……
第3大类：经过一系列无懈可击的推理可以推出自相矛盾的悖论。
著名的罗素悖论、说谎者悖论属于此类。
3.1罗素悖论：把集合分成两类，一类是包括自身的集合——比如叫做A类集合，一类是不包括自身的集合——比如叫做B类集合，显然一个集合不是A类集合就是B类集合，没有第三种可能，那么现在问：仅由所有B类集合组成的集合X，是A类集合还是B类集合？如果X是A类集合，则X包括其自身，但是X仅由B类集合组成，那么按照B类集合的定义，X就不应该包括其自身。如果X是B类集合，则X不包括其自身，但按照X的定义，X又应该包括所有的B类集合，显然又应该包括其自身。无论把X分为哪一类都是自相矛盾的。
3.2说谎者悖论：一个简单形式：“这句话是谎话”如果认为这句话是真话，那么按照这句话所说，这句话就是谎话。如果认为这句话是谎话，那么这句话所说的“这句话是谎话”就是假的，即这句话是真话。无论怎样判断这句话都会导致自相矛盾。
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