有些数学猜想看起来非常简单，但至今仍悬而未决。与同样很“简单”的哥德巴赫猜想相比，接下来要介绍的四个猜想更具有趣味性，却几乎没什么“数学性”。
又叫角谷猜想，乌拉姆（Ulam)问题，卡兰兹(CoIlatz)猜想。这个猜想很简单：
本人比较喜欢“冰雹猜想”这个名字，因为“冰雹”非常形象地表现了这一过程：冰晶在云层中上上下下，起起伏伏，但最后总是会变成冰雹落回大地。
冰雹的形成过程
这个猜想看起来非常简单，到现在却始终无法证明。主要在于其不可预知性。
有人说，这还不简单，只要是偶数，一直除以2，不断缩小，最后总会变成1的呀？问题是偶数除以2还可能是奇数，比如10/2=5，5是奇数，这时候就要乘以3再加1，变成16，相比于10而言是放大了。没有办法预知，一个偶数除以2之后得到的是偶数还是奇数。
举个极端一些的例子：27
对数字27，总共需要进行112步上面的运算，才会变成数字1，随后陷入“1-4-2-1”循环。这个过程如下:
进行到第76步的时候变成“9232”这么大的一个数字，然后又迅速减小，再经过几次起伏之后，才终于变成1。
根本没办法预测这样的上下起伏，冰雹猜想也就一直悬而未决。
小编个人有一个想法：是不是可以反过来，如果能够证明由“1”，“2”，”4“这四个数，通过逆向运算得到任意正整数，那么冰雹猜想不就成立了吗？不过一番尝试以后也是无奈放弃。
著名天才数学家、菲尔兹奖的获得者陶哲轩也研究过冰雹猜想，相关文章发表在他的个人博客上。感兴趣的朋友可以打开下面的链接，看一看他的研究工作：
https://terrytao.wordpress.com/2011/08/25/the-collatz-conjecture-littlewood-offord-theory-and-powers-of-2-and-3/
首先介绍一下，所谓回文数就是指这样一类正整数，数字正过来和反过来一样，比如919，12321,478874。
接下来我们做这样一个游戏：
任取一个正整数（注意，是任意正整数），然后把它和它的倒序数相加，得到新的数，再不断进行这个过程，直到得出一个回文数为止。
举例：123
一步到位。
再比如：57
57+75=132132+123=363（回文数）
两步到位。
再比如：69
四步到位。
回文数猜想说的就是：
对任意一个正整数，是不是总能通过上面的过程得到一个回文数呢？不限次数。
直觉来看，这个猜想似乎是对的，但皂滑弄人，偏偏有两个数，人们通过超级计算机已经运算了上万步，计算到数亿位，仍然得不到一个回文数，这就是196和277386。
人们既不能肯定运算下去永远得不到回文数，也不知道需要再运算多少步才能最终得到回文数。
从小到大依次列出所有的质数：
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
求出相邻两项之差的绝对值：
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …
再次求出相邻两项之差的绝对值：
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …
重复以上过程，可依次得到
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 2, …
有一个很简单的规律：
某日，数学家 Norman L. Gilbreath 闲得无聊，在餐巾上不断对质数序列求差，于是发现了上面这个规律。Gilbreath 的两个学生对前 64 419 行序列进行了检验，发现这个规律始终成立。1958 年，Gilbreath 在一个数学交流会上提出了他的发现，Gilbreath 猜想由此诞生。
这个规律如此之强，很少有人认为猜想不成立。1993 年，Andrew Odlyzko对 10 000 000 000 000 以内的质数（也就是 346 065 536 839 行）进行了检验，也没有发现反例。
这一看似简单的问题，几十年来也是没人解决。
下面是一个杨辉三角
显然，数字 1 出现了无穷多次。
现在问一个简单的问题：
除了数字 1 以外，哪个数字出现的次数最多？最多出现多少次？
上图中， 6 出现了 3 次。 此外，10 出现了 4 次， 120 出现了 6 次，这还不算多。
目前已知的出现次数最多的数是 3003 ，它同时等于 C(3003, 1) 、 C(78, 2) 、 C(15, 5) 、 C(14, 6) ，根据对称性可知，3003在杨辉三角中一共出现了 8 次。
杨辉三角包含无限多的数，有没有出现次数更多的数，目前仍然是一个未解之谜。
当然，Singmaster猜想要比上面的这个问题更深刻一些，但上面的问题作为其中的一部分，也具有不错的思考价值。
参考资料：
1.Matrix67 千万别学数学：最折磨人的数学未解之谜
2.《世界自然与科学未解之谜》
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