有些数学猜想看起来非常简单,但至今仍悬而未决。与同样很“简单”的哥德巴赫猜想相比,接下来要介绍的四个猜想更具有趣味性,却几乎没什么“数学性”。
又叫角谷猜想,乌拉姆(Ulam)问题,卡兰兹(CoIlatz)猜想。这个猜想很简单:
本人比较喜欢“冰雹猜想”这个名字,因为“冰雹”非常形象地表现了这一过程:冰晶在云层中上上下下,起起伏伏,但最后总是会变成冰雹落回大地。
冰雹的形成过程
这个猜想看起来非常简单,到现在却始终无法证明。主要在于其不可预知性。
有人说,这还不简单,只要是偶数,一直除以2,不断缩小,最后总会变成1的呀?问题是偶数除以2还可能是奇数,比如10/2=5,5是奇数,这时候就要乘以3再加1,变成16,相比于10而言是放大了。没有办法预知,一个偶数除以2之后得到的是偶数还是奇数。
举个极端一些的例子:27
对数字27,总共需要进行112步上面的运算,才会变成数字1,随后陷入“1-4-2-1”循环。这个过程如下:
进行到第76步的时候变成“9232”这么大的一个数字,然后又迅速减小,再经过几次起伏之后,才终于变成1。
根本没办法预测这样的上下起伏,冰雹猜想也就一直悬而未决。
小编个人有一个想法:是不是可以反过来,如果能够证明由“1”,“2”,”4“这四个数,通过逆向运算得到任意正整数,那么冰雹猜想不就成立了吗?不过一番尝试以后也是无奈放弃。
著名天才数学家、菲尔兹奖的获得者陶哲轩也研究过冰雹猜想,相关文章发表在他的个人博客上。感兴趣的朋友可以打开下面的链接,看一看他的研究工作:
https://terrytao.wordpress.com/2011/08/25/the-collatz-conjecture-littlewood-offord-theory-and-powers-of-2-and-3/
首先介绍一下,所谓回文数就是指这样一类正整数,数字正过来和反过来一样,比如919,12321,478874。
接下来我们做这样一个游戏:
任取一个正整数(注意,是任意正整数),然后把它和它的倒序数相加,得到新的数,再不断进行这个过程,直到得出一个回文数为止。
举例:123
一步到位。
再比如:57
57+75=132132+123=363(回文数)
两步到位。
再比如:69
四步到位。
回文数猜想说的就是:
对任意一个正整数,是不是总能通过上面的过程得到一个回文数呢?不限次数。
直觉来看,这个猜想似乎是对的,但皂滑弄人,偏偏有两个数,人们通过超级计算机已经运算了上万步,计算到数亿位,仍然得不到一个回文数,这就是196和277386。
人们既不能肯定运算下去永远得不到回文数,也不知道需要再运算多少步才能最终得到回文数。
从小到大依次列出所有的质数:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
求出相邻两项之差的绝对值:
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …
再次求出相邻两项之差的绝对值:
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …
重复以上过程,可依次得到
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 2, …
有一个很简单的规律:
某日,数学家 Norman L. Gilbreath 闲得无聊,在餐巾上不断对质数序列求差,于是发现了上面这个规律。Gilbreath 的两个学生对前 64 419 行序列进行了检验,发现这个规律始终成立。1958 年,Gilbreath 在一个数学交流会上提出了他的发现,Gilbreath 猜想由此诞生。
这个规律如此之强,很少有人认为猜想不成立。1993 年,Andrew Odlyzko对 10 000 000 000 000 以内的质数(也就是 346 065 536 839 行)进行了检验,也没有发现反例。
这一看似简单的问题,几十年来也是没人解决。
下面是一个杨辉三角
显然,数字 1 出现了无穷多次。
现在问一个简单的问题:
除了数字 1 以外,哪个数字出现的次数最多?最多出现多少次?
上图中, 6 出现了 3 次。 此外,10 出现了 4 次, 120 出现了 6 次,这还不算多。
目前已知的出现次数最多的数是 3003 ,它同时等于 C(3003, 1) 、 C(78, 2) 、 C(15, 5) 、 C(14, 6) ,根据对称性可知,3003在杨辉三角中一共出现了 8 次。
杨辉三角包含无限多的数,有没有出现次数更多的数,目前仍然是一个未解之谜。
当然,Singmaster猜想要比上面的这个问题更深刻一些,但上面的问题作为其中的一部分,也具有不错的思考价值。
参考资料:
1.Matrix67 千万别学数学:最折磨人的数学未解之谜
2.《世界自然与科学未解之谜》
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