7.Rt△ABC 中,∠C=90°,点 D、E 分别是△ABC 边 AC、BC 上的点,点 P 是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点 P 在线段 AB 上,如图(1)所示,且∠α=50°,则∠1+∠2= ;
(2)若点 P 在边 AB 上运动,如图(2)所示,则∠α、∠1、∠2 之间有何关系?
(3)若点 P 在 Rt△ABC 斜边 BA 的延长线上运动(CE<CD),则∠α、∠1、∠2 之间有何关系?猜想 并说明理由.
解:(1)如图,连接 PC, 由三角形的外角性质,∠1=∠PCD+∠CPD,∠2=∠PCE+∠CPE,
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C,
∵∠DPE=∠α=50°,∠C=90°,
∴∠1+∠2=50°+90°=140°, 故答案为:140°;
2)连接 PC,
由三角形的外角性质,∠1=∠PCD+∠CPD,∠2=∠PCE+∠CPE,
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C,
∵∠C=90°,∠DPE=∠α,
∴∠1+∠2=90°+∠α;
(3)如图 1,由三角形的外角性质,∠2=∠C+∠1+∠α,
∴∠2﹣∠1=90°+∠α;
如图 2,∠α=0°,∠2=∠1+90°; 如图 3,∠2=∠1﹣∠α+∠C,
∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°.
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