(感谢项老师邀请!)
答案:偶数;
原因:
以 自然数 m 开头的连续 r (> 0) 个自然数,组成如下序列:
a₀, a₁, ..., aᵣ₋₁
这其实是一个等差为1的等差数列。
其中,每一项:
aᵢ = m + i (0 ≤ i ≤ r - 1) ⑴
令 S 是它们之和,即,
S = a₀ + a₁ + ... + aᵣ₋₁
根据 加法交换律,可以将相加顺序反过来,有:
S = aᵣ₋₁ + aᵣ₋₂ + ... + a₀
进而有:
2S = S+S = (a₀ + aᵣ₋₁) + (a₁ + aᵣ₋₂) + ... + (aᵣ₋₁ + a₀)
对于任意 0 ≤ i ≤ r - 1,根据 ⑴,有:
(aᵢ + aᵣ₋₁₋ᵢ) = m + i + m + r - 1 - i = 2m + r - 1
将上面结果全部带入 等式 ⑵ 右边, 得到:
2S = (2m + r - 1) + (2m + r - 1) + ... + (2m + r - 1) = r(2m + r - 1)
于是最终得到:
S = r(2m + r - 1) / 2
也就是 S = rm + r(r-1)/2,这符合 等差数列求和公式。
项老师的问题是 r = 2020 的情况,这时:
S = 2020(2m + 2020 - 1)/2 = 1010(2m + 2019)
因为 1010 是偶数,而 偶数乘以任何非零自然数都是偶数,因此得到答案:
2020个连续的自然数相加,和是偶数。
推而广之。
当 r = 2k 是偶数时,有:
S = 2k(2m + 2k - 1)/ 2 = 2(km + k²) - k,
其中 2(km + k²) 是偶数,根据 任何数加偶数奇偶性不变,故 S 的奇偶性 和 k 保持一致。于是得到如下结论:
r 是偶数的倍数时,S 是偶数; r 是奇数的倍数时,S 是奇数;
当 r = 2k + 1 是奇数时,有:
S = (2k+1)(2m + 2k + 1 - 1)/ 2 = (2k+1)(m + k ) = 2(km + k²) + (m + k)
显然,S 和 m + k 奇偶性一致,于是得到如下结论:
r 是偶数的倍数加一时,S 和 m 的奇偶性一致;r 是奇数的倍数加一时,S 与 m 的奇偶性相反(这里,根据 任何数加奇数奇偶性改变);
(我写的复杂,如果不喜欢,则其它老师有更简单的回答,大家可以参考。最后,祝愿,各位老师和朋友,大家 国庆节快乐!)
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