已知:如图1所示,在等腰三角形ABC中,延长边BC到D,延长边CA到E,联结DE,有BA=BD=DE=EC。求∠ACB。
图1
我们来赏析这道经典的平面几何难题。
先做分析。
1)目标是求角,这个角在等腰三角形中,已知一个等腰三角形及四条线段相等。
2)先确定在等腰ΔABC中,哪两条边是腰。显然AB不可能是腰,因此腰是CA、CB。
3)BA=BD=DE=EC,这4条线段相等!而且我们很容易发现DC=EA,ΔCDE是等腰三角形。我们标出已知的两个等腰三角形中的角(如图2),并用∠ACB表示:设∠ACB = x,则∠2 = 90°-x/2,∠3 = ∠4 = 180°-x ,∠5 = 2x-180°。
图2
3)这么多的线段相等,自然想到菱形、等边三角形、等腰三角形。我们已经用了DE=EC,还有BA=AD=DE没有使用,然而没有现成的菱形或等边三角形或更多的等腰三角形,必然要适当添加辅助线,集中或关联这些线段,以构造出它们。
4)过哪个点作辅助线呢?当然首选能最多地关联这些相等线段的点,具体来说就是D、E。结合我们的目标,选择点D。
5)联结DA、EB吗?这样(如图3)确实得到两个等腰三角形,但由此产生的角,特别是ΔDAB的内角,与标出的既有角之间的数量关系不明显,感觉产生的收益不够,需要构造有更多特殊性质的图形:菱形或等边三角形。
图3
6)过点D作DF//=AB使点F、B位于DA的两侧,联结FA;如图4,显然四边形ABDF是菱形。我们把更多的关注点转移到开辟的F点相关的新战场。
图4
7)观察,注意到DF=DE以及FA与DE造成的缺口,联结FE,如图5,感觉:ΔDEF是等边三角形,而且组成∠DFE的∠DFA=∠ABC,而∠AFE所在的三角形似乎与ΔCED全等。
图5
8)注意到AE=CD,∠FAE=∠ECD(FA//DB,同位角相等),AF=CE ⇒ ΔAFE≌ΔCED(SAS) ⇒FE=ED,∠AFE=∠CED ⇒ ΔDEF是等边三角形。
9)于是得方程(90°-x/2)+(2x - 180°)=60°,解得x=100°。
点评:以上解法中,有一些尝试、比较和选择决策甚至直觉,经过适当的思维素质训练可望轻松应对此类问题。
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