动点在简单的数轴上运动虽然难,但动点遇圆结合的中考题就难上加难了,今天笔者就2017年江西某市的中考压轴题进行分析探究!
如图,∠AOB=45°,点M,N在OA上,OM=X,ON=X+4,点P是边OB上的点,若使动点M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,求x的值
此题需要分类讨论:
情况一: 当M点与O点重合时:
1、有下列情况作MN的中垂线交OC于点P',即得MP'=NP'
2.以O为圆心,MM为半径作圆交OC于P''点,连接NP'',即得MP''=MN
3.以N为圆心,MM为半径作圆交OC于P'''点,连接NP'',即得NP'''=NM
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情况二:分别以M,N为圆心,MN=4为半径作两圆以及作MN的中垂线,得
为了让读者更清晰的看清三个等腰三角形,对P',P'',P''三个点分别连线,得图
从图中可得P',P'M=P'N P'',P''M=P''N,P''',P'''M=P'''N
我们发现拖动N点时,P'',P'''的位置发生了变化,我们可以得出此时OM的值也在不断的变化,所以OM在拖动过程中x的值是一个取值范围。
沿OA方向拖动,圆M与OC相切时OM的值最大(该切点取到一个点,不符合题意)如图
第三种情况:这种情况学生在解题的时候是最容易忽视的情况,我们继沿AO方向拖动,圆M离开点O时,继续拖动圆M直到圆N与OC相切时,此时P也且仅当有三个点,如图
此时OM的值是多少呢?
解:连接NP''',得如下图
当圆N与OC相交时有四个点,不符合题意。
结束语:遇到此类的动点分析讨论题,要构建3个等腰三角形的点,我们所先要想到圆,利用圆的知识去分类讨论!
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