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数姐有话

三角形的考察是中考的一个重点，一般会借助特殊三角形与全等和相似相结合来考察，对于这种题，同学们首先需要掌握每个分解知识点，然后适当练习一下综合题就好。

（2016·辽宁丹东·12分）

如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．

（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．

先自己思考

本题考点

等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形等综合运用

题目分析

（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；

（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；

（3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=

BD，PN=

AE，进而可证明PM=kPN．

题目解析

本题点评

本题考察的是几何变换综合题，熟知等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质及其相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的运用，熟记和三角形有关的各种性质定理是解答此题的关键。

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