若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆。若一个四边形的一组对角互补,则这个四边形的四个点共圆。还可用相交弦定理的逆定理,割线定理等证明四点共圆。
如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质:(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;(2)圆内接四边形的对角互补;(3)圆内接四边形的外角等于内对角。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
1.若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD,则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2.若一个四边形的一组对角互补(和为180°),则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°,则点A、B、C、D四点共圆。
3.若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE,则A、B、C、D四点共圆。
4.若一个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD,则A、B、C、D四点共圆。
5.若AB、CD两线段相交于P点,且PA×PB=PC×PD,则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
6.若AB、CD两线段延长后相交于P。且PA×PB=PC×PD,则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
7.若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积,则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理)。
已知四边形ABCD,若AB×CD+BD×AC=AD×BC,则A、B、C、D四点共圆。
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