【温馨提示】2016年10月8号，教育部考试中心公布了[2016]第179号文件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，特别提出要关注数学文化。前面我连续写了《什么是数学文化？》、《数学文化的四个层次》、《数学文化的人本特性》三篇文章，对数学文化作了一个系统的梳理。梳理过后，我想大部分老师还是想急切知道数学文化到底如何在考题中体现出来。事实上，在此之前，各省份的高考试题就已经在这方面有所体现，也出现了一些渗透数学文化的精彩题目。分析这些高考试题，会发现目前大致出现了以下六种方式:①渗透数学史；②渗透数学名题；③渗透数学精神；④渗透数学美；⑤渗透数学应用；⑥渗透数学语言。故下一步我将分别从这六个方面进行论述。
上期我们谈了《数学史在高考试题中的渗透》，本期再谈高考试题中数学名题的渗透。
赏析数学名题在高考试题中的渗透
什么是经典？常念为经，常数为典。经典就是经得起重复。常被人想起，不会忘记。常言道：“话说三遍淡如水。”一般的话多说几遍人就要烦。但经典的语言，人们一遍遍地说，一代代地说；经典的书，人们一遍遍地读，一代代地读；经典的题目，人们一遍遍地做，一代代地练。
有些数学历史名题有着令人深深折服的自身魅力，一般来说，这些名题的提出都是非常自然的，它或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或与深刻的数学内容相结合，或者深刻揭示了实质性的数学思想，或者与经典的解法相互关联，或与著名的数学大师有关。这种名题尤其得到命题人的青睐，常常将这些数学名题作些技术性处理，就可以让“陈旧”的内容焕发生机。
赏析：例1与例2问题的设计源于“角谷猜想”，该问题是由德国数学家克拉茨提出的，这个问题是这样：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n/2）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n 1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1。如初始正整数为３，按照上述变换规则，我们得到一个数列：３，１０，５，１６，８，４，２，１．后来一位名叫角谷的日本人把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”．
“角谷猜想”说明初始值无论有多么大的误差，都是会自行恢复到1。这个猜想经过特殊值验证都是正确的，但是目前无人能够精确证明。以上两个题目中，例1是以分段数列的形式给出，例2是以程序框图的形式给出，它们形式上虽然发生了变化，但命制根源还是角谷猜想。
例３（２０１４年湖北文１７）已知圆Ｏ：ｘ2＋ｙ2＝１和点Ａ（－２，０），若定点Ｂ（ｂ，０）（ｂ≠－２）和常数λ满足：对圆Ｏ上那个任意一点Ｍ，都有｜ＭＢ｜＝
λ｜ＭＡ｜，则
（１）ｂ＝_________；（２）λ＝_________．
例6.（2006年四川理6题）
已知两定点A(-2,0),B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的面积等于（）
A.π B.4π C.8π D.9π
赏析:例3、例4、例5、例6都源于阿波罗圆，它的定义为：动点P到两定点F1,F2距离之比为定值λ（λ为正数），则动点P的轨迹是阿波罗圆。如果完全统计的话，阿波罗圆在近十年高考中，总共出了十余道，在十几年时间内常考不衰，其内容应该本无新意可言，但是每年给人的感觉却是常新的，常考常新，新瓶装老酒，味道也是越发浓烈，阿波罗尼圆的魅力，真是体现得淋漓尽致！
例7.（2012年湖北理13题)
回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数。如22,121,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99。3位的回文数有90个：101,111,121，…191,201，…，999.
（1）4位回文数有__________个；
（2）2n 1位(n∈N*)回文数有__________个
赏析：本题以回文数为背景，不仅考查学生的知识和信息的迁移能力，考察学生的自主探究、合情推理能力，还能使学生领略到数学美和数学文化。并且，人们迄今未能找到四次方、五次方以及更高次幂的回文素数。于是数学家们猜想：不存在均是nk(k≥4，n,k均是自然数）形式的回文数，但还没有被证实，这些有趣的回文数，至今还存在着许多不解之谜，值得学生再次展开研宄性学习。
例8.（2011年湖北理15题）
给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的的着色方案如图所示：
由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有______种，至少有两个黑色正方形根的着色方案共有___________种，（结果用数值表示）
赏析：该题一方面可以看成是涂色问题，运用排列组合相关知识可以解答；另一方面可以找出规律，发现这其实也是一个斐波那契数列问题，运用数列相关知识解决，所以此题是一道典型的具有数学文化背景的高考试题。其创新之处就是在四色问题和斐波那契数列的基础上，以图形为依托，表面上是一道普通的涂色问题，考查的是排列组合知识；实质上通过创设一个斐波那契数列的问题情境，考查学生的归纳猜想能力和合情推理意识。从命题的角度讲，该题基于数学文化，属于经典问题改造，这种改造应该说主要是形式上的，但就是这种改造己使很多考生不适应。究其原因，学生或者是缺乏数学文化的素养，或者是不能透过表面现象去洞察问题的实质.
问题的设计以数学历史上的名题为基础，显示出数学文化在选拔性考试中独特的“点石成金”的作用。有人说：考题年年创新，还有人说：考题年年不变。这两种说法并不矛盾，恰好可以统一起来，事实上，不变的是问题的本质，创新的仅是问题的形式。
参考文献：《数学文化在高考试题中的渗透研究》王绚
下期预告：赏析数学精神在高考试题中的渗透—— 从数学文化视角解读2017最新高考考纲变化(第6期）
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