一、角平分线的性质与判定
1、定义:如图2-1,如果∠AOB=∠BOC,那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC,像OB这样,从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫作这个角的角平分线.
2、角平分线的性质定理
①如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角,
②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3、角平分线的判定定理
①在角的内部,如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的平分线,
②在角的内部,到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上,
二、与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型,
已知P是∠MON平分线上一点,
1、若PA⊥OM于点A,如图(a),可以过P点作PB⊥ON于点B,则PB=PA.可记为“图中有角平分线,可向两边作垂线”.
2、若点A是射线OM上任意一点,如图(b),可以在ON上截取OB=OA,连接PB,构造△OPB≌△OPA.可记为“图中有角平分线,可以将图对折看,对称以后关系现”.
3、若AP⊥OP于点P,如图(c),可以延长AP交ON于点B,构造△AOB是等腰三角形,P是底边AB的中点,可记为“角平分线加垂线,三线合一试试看”.
4、若过P点作PQ∥ON交OM于点Q,如图(d),可以构造△POQ是等腰三角形,可记为“角平分线 平行线,等腰三角形必呈现”.
一、连接两点
二、截取线段(取点)
三、延长线段
四、作角平分线
已知:如图,△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,在AC的延长线上取一点E,联结DE交BC于点F,若F是DE的中点。求证:BD=CE
分析:有中点条件出现,可考虑作平行线(形内添辅助线),构造全等三角形
方法一:解:过点D作DG//AC,交BC于点G∴∠DGB=∠ACB(两直线平行,同位角相等) ∠DGF=∠FCE(两直线平行,内错角相等)∵AB=AC (已知)∴∠B=∠ACB(等边对等角)∴∠B=∠DGB (等量代换)∴BD=DG(等角对等边)∵F是DE的中点(已知)∴DF=EF(中点的意义) 在△DFG 和△EFC中
∴△DFG ≌ EFC(A.A.S)∴DG=CE (全等三角形对应边相等) ∴BD=CE(等量代换)
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