《运用信息技术探究高中数学实验教学模式》结题报告
云南省昆明市外国语学校课题组
2002年9月，昆明市外国语学校承担了“高中数学课程教材与信息技术的整合”课题实验资助项目《运用信息技术探究高中数学实验教学模式》，经过三年多的实践研究，在教育理论和实践上取得了一定的研究成果，有力地推动了我校数学教学改革的深入开展．现将课题实验情况介绍如下．
一、问题的提出
“数学实验”，是指根据研究目标，创设或改变某种数学情景，在某种条件下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律的过程．这是一种思维实验和操作实验相结合的实验．图形计算器和计算机技术为“数学实验”教学提供了有效的手段．在实践中，我们认识到，新型教学模式必须体现教师、学生、教材、媒体四要素结构关系和功能的根本改变；利用现代教育技术，不仅是支持教，重要的是支持学．
当前，现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响．数学与信息技术的相互促进与紧密结合，不仅形成了作为高新技术的核心成分和工具库的数学技术，也深刻地改变了数学的教和学的方式.在利用信息技术创设的数学学习环境中，操作、观察、试验、猜想、发现等过程变得具体而清晰，数学思维的目的性增强，数学推理的逻辑基础更加稳固，数学思考更具有程序性，这就极大地增加了学生通过自主的、积极的数学思维而成功建构数学概念、解决数学问题的可能性，并使以学生发展为本的教育理念得以实现.高中数学课程提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，而整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质．利用信息技术使以往教学中难以呈现的课程内容，得以方便的呈现．使得数学思想容易表达了，数学方法容易实现了，数学与现实的联系更加紧密了. “数学实验” 即在电脑平台上构建一个问题情境，由教师或学生对各元素进行有序的控制操作，变换各种情境，并通过学生小组的协作学习，去观察问题、验证结论、体验本质、归纳和发现新结论．这是一种教学上的数学实验．教师精心挖掘教学内容中的实验因子、实验课题，编制课件等，并采用典型课例带动的策略，构建了问题—-实验—-观察—-猜想—-分析—-验证—举例的“数学实验”教学模式，并对操作要点、程序、实施策略、评价指标和方法手段等评价体系作了研究和实践，由此形成了“数学实验”教学课题、课件、教案等系列有形产品．
我校自2002年作为课题实验学校参与课题实验以来，以TI-92PLUS图形计算器作为信息技术运用的主要工具，GSP4.06,Graphmatica等开放型系统作为辅助用具．在高中数学课程教材与信息技术整合的研究方面积极进行探索研究．特别是数学实验课的探究，通过信息技术的介入，构建“多元联系表示”的数学学习环境，帮助学生在把握数学对象不同特征的基础上，组合不同表示法中蕴涵的信息，从而大大增加了建立数学对象不同方面联系性并把握其本质特征的机会．因此我们认为图形计算器在高中数学知识形成中的应用研究具有重大的意义．通过大量的数学实验课，学生在老师的指导下极有兴趣地探索数学知识的发生过程，使学生的思维经历了从抽象—具体—抽象的过程，对数学的认识发生了飞跃的变化，传统的数学教学借助现代教育技术手段，依据认知规律和学生的认知心理，经过老师们审慎地对这些资源的科学整合，实现了课堂模式的创新，极大地提高了教学效益，在高考中数学成绩得到大幅度的提高．
二、研究过程
（一）积极参加培训
2002年9月组建高中信息技术与教材整合实验班，按全国课题组的要求进行实验，在课题负责人孙浪涛的带领下，由课题组长张静元的具体布置、落实下于9月正式开始了实验．为落实实验工作，我们购买了60台TI—92PLUS图形计算器,组建了数理实验室，并在02级开展实验，此之前，课题组教师多数没接触过TI图形计算器，更无利用图形计算器进行教学的实践经验，在全国信息技术教育中心白涛老师的领导下，为云南省课题实验学校举办的各种培训，每次培训实验教师都参加．
2002年8月，王勇老师到北京参加全国第一届TI手持教育技术与中学数学教学改革年会．
2002年9月，请教材编写专家、云南课题负责人白涛老师给课题组的老师和实验班的同学培训了图形计算器的使用与操作，由昆明市教研室副主任、高级教师马绍文老师为课题组的老师培训了几何画板的操作与使用．
2002年11月6日至8日，参加在昆明盘龙一中举办的《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）?数学》(以下简称“整合本”)第一册（上）教材及技术培训，并观摩了盘一中老师的一节公开课．
2003年2月16日至18日，参加在云南蒙自一中举行的云南省项目实验学校课题课例展评、教材培训、课题实验交流与总结活动
2003年3月12日，学校课题组交流学习图形计算器的学习心得．
2003年4月20日至4月23日，参加在昆明举办的“整合本”第一册（下）第5章“平面向量”的教材及技术培训；课题组张静元老师向云南省各高中学校教师代表展示教学课例《向量的坐标运算》
2003年8月，在云南大理“整合本”第一册（上）、第二册（上）的教材及技术培训．课题组的全体老师参加了培训．
2003年9月张任重老师到北京参加第二届全国TI手持教育技术与中学数学教学改革年会．
2003年10月17日至19日，参加在云南省曲靖市举办的“整合本”第一册（下）、第二册（下）的教材及技术培训，由南京师范大学附中著名教师陶维林给我们做了技术培训，收获很大．
2003年11月，由我校承办了实验学校的研究课，并由王勇老师在全省的公开课上了一节等差数列前n项和公式的应用．课后进行了评课，老师们学到了很多．
2004年3月4日至7日，参加在云南蒙自一中举办的“整合本” 第一册（下）、第二册（下）教材及技术培训, 观摩专家示范课，课题组老师参加了交流和接受培训．
2004年，组织了全校的教研课，课题组的教师们，充分展示了，数学实验课的魅力，其中张静元老师的《探索函数
的图象及性质》实验课得到课题组老师的好评，学生写的实验报告小论文送到上海交流．
2004年8月16日至18日，张静元老师到上海参加第三届全国TI手持教育技术与中学数学教学改革年会
2004年10月21日～23日，参加在昆明八中举办的实验学校公开课观摩及研讨，TI图形计算器等信息技术在“整合本”教学中的运用．
（二）制订课题组研究计划,开展课题研究工作
1．领导重视
课题负责人由校长孙浪涛亲自担任，并多次亲临指导，并敦促校务会为课题组开展实验提供大量经费，首先为实验配备了60台TI—92PLUS图形计算器，课题组老师人手一台，除了国家课题组拨给我校的课题经费外，还从学校另拨一部分经费，为实验的开展提供了有力的保障，并亲自过问和参与实验，特别是结题工作，还参与了撰写结题报告，为撰写报告出谋划策．后期调入学校的教学副校长张立新非常重视，多次参加课题培训，亲临实验班，为课题实验做了很多实事，为课题的实验成功保驾护航．
2．计划详细
课题启动后,课题组主要采取教学内容与教学模式相结合,非实验班与实验班相比校的作法,制定了每个年级每学期每个教师至少上一节研究课的计划,通过研究课进行三种基本教学模式的试验研究,同时想就此达到课题组教师互教互学，共同切磋,快速提高的目的,近三年来,共进行了11节研究课．
a.王 勇老师 《等差数列前n项和公式的应用》
b. 张静元老师 《探索函数
的图象及性质》
c. 刘红志老师 《法向量在立体几何解题中的应用》
d. 张静元老师 《圆锥曲线的统一定义》
e. 刘红志老师 《三角函数图象变换》
f.刘锦翚 老师 《指数函数教学中信息技术教学实验》
g.田文灿老师 《指数函数教学》
f. 王永芬老师 《函数图象的类比学习》
g. 张静元老师 《差后等差数列、等比数列的通项公式》
h. 刘红志老师 《利用信息技术探索三角形线段的比值》
g.张任重老师 《函数应用举例》
（三）课题研究方法
1．实验班与非实验班的目标参照研究法
结合学校实际，更为了顺应教育改革的发展方向，目的是通过运用图形计算器创新数学教育；更新教育观念；优化教学过程，从而减轻学生负担，增大课外活动密度，全面提高学生素质，培养学生创新精神和实践能力；另一方面，通过对开放性课题的研究，不同程度提高教师的教学理论水平，让教学科研更好地为教育教学服务，进一步提高教师的教育教学科研能力，推动我校数学学科教学改革的深入发展．
第一阶段是对使用图形计算器操作技术的评价：采用实验班与非实验班对数学知识
的检测，并做到科学性，客观性，针对性，实用性，课题组成员对抽样作定性分析及与实
验教师和学生座谈搜集材料的基础上形成的报告，报告分为以下三个部分：
一、图形计算器引入课堂教学
本届高一年级是在教材中第二章函数的学习使用图形计算器，在教学中统一使用TI92图形计算器，主要目的是会用图形计算器进行函数作图、解方程、因式分解和三角函数图象的，以及会用图形计算器进行函数图象和性质的探究，在数学学习的过程中，既培养学生的动手、动脑能力，又开发了学生的智力，简化了数学运算，锻炼了学生思维，节约了时间，更重要的是开拓了学生的视野，激发了学生学习数学知识的欲望．
二、校级课题评价
根据课题实验要求，和课题组的申请，学校组织了对实验第一阶段
的评价，测评要求：
(1)熟练掌握图形计算器的使用(个体抽样调查测评)
(2)标准参照评价（基本技能测评）
评价结果：
由课题组成员张静元、刘红志组成测评小组分别对实验（1）、（2）、和非实验班（3）、（4）班抽样调查，已基本达到熟练掌握计算器的使用．由教科室、数学组、高一年级组联合对高一全体学生进行了图形计算器使用基本技能的测试，试卷采用2002年全国“十五”科研项目学校测试卷．测试情况如下：
1．测验基本情况
表1 技能测试统计结果
平均难度
平均分
及格率
标准差
信度
效度
0.32
31.76
1.89
6.12
0.75
0.64
表2 试卷所测查的能力（分值）统计
项目时间
识记
理解
掌握（应用）
综合
2002年10月
20
19
38
23
从表1可以看出，试题的难度较大，信度、效度相对稳定，全校平均分、及格率都很低，说明我校学生的计算器应用还有待提高．
表3 各班分数段分布情况
班
级
人
数
0-39
40-59
60-79
80-99
100
平
均
分
及
格
率
标
准
差
比率
比率
比率
比率
比率
1
53
26.1
26.98
32.57
0.52
0
42.91
0.81
20.9
2
49
28.5
32
27
0.5
0
40.29
0.05
23.7
3
48
46.4
40.6
13
0
0
29.73
0
14.6
4
51
60.4
18.64
11.06
0
0
28.71
0
16.3
从表3看出1、2两班情况明显较好，3、4班较差．
三、对下一阶段教学和实验的建议
从教师和学生座谈提供的材料上我们发现：第12题是三角函数的计算题，由于学生不善于逆用和变形公式解决问题，使得问题变复杂．教师在平时的教学中应引起重视．第三题是实际应用问题，得分率为16.73%，是解答题中得分率最低的，主要问题是建立函数模型思想、解决实际问题的能力较差，需要教师在日常的教学中有意识地加强、提高．重视能力的培养．我校在第一阶段的实验初见成效，利用信息技术将所研究的问题进行多元联系表示，通过图象将隐含的直观地规律体现出来，并联系表格对体现出的规律进行准确的刻画，并利用动态变化的技术对发现的规律进行确定或修改，这使得多元联系表示比单一表示更能够促进学生的思维，更容易探索出需要研究的结果．
2．课题组老师研究的成果以论文和课件的形式呈现，实验班的学生呈现小论文（附后）
3．认真准备结题
2005年3月课题组研究课题结题研究，如何撰写结题报告，论文，并成立了结题小组，制定了结题方案，
附件一：
昆明市外国语学校“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”课题结题验收工作安排
一、 课题组成员：
1. 课题负责人：孙浪涛、张立新．
2. 课题组长：张静元
3. 课题成员：张静元 王永芬、刘红志、李娅萍、张任重、王勇、张纯、肖平、田文灿、周静、刘锦翚、彭彦怀．
二、 课题验收时间安排：
4月30日：动员大会（论文框架）主持：张静元
5月8日： 交1.题目．2.撰写论文提纲．3. 研究方向等．4.信息技术支持等．
主持：刘红志、李娅萍
5月15日：省课题实验学校交流会
主持：张静元 参加：刘红志、李娅萍
5月20日：形成结题报告初稿，交教师论文
主持：刘红志、李娅萍
5月25日：省级验收 负责人：黄邦杰
学校主持：孙浪涛、张立新、张静元．
5月30日: 学校验收报告；总结、提出意见；教师定稿论文
主持：张立新．
6月20日： 交定稿论文、结题报告，迎接验收
主持：张静元
6月25日：国家的课题结题验收．
主持：孙浪涛、张立新、张静元
三、 课题报告验收要求：
1. 验收合格，完成国家课题．
2. （1）结题报告（2）教师的科研成果1-3篇论文、课题、案例，原则上不要求理论的文章，应用在实践中，教材与信息技术整合．（3）在教学上的案例分析，主要是对课例、案例中的闪光点的分析，研究．
三、实验研究成果
在云南省课题组负责人白涛老师的大力帮助下，在学校领导的积极支持下，在我校课题组的诸位老师的相互配合和共同努力下，教学与科研都取得长足的进步．首先表现在通过进行课题实验，极大地促进了学校教师队伍的专业化成长．在课题组老师的带动下，形成全组老师、不分老幼积极学习信息技术、更新教学观念、认真贯彻教改精神的积极态度．教师的整体素质通过课题实验过程的专家引领得到很大的提高．课题组的多位老师全国论文获奖，张静元老师的论文还多次在年会的论文集上发表、并获得“二等奖”．张静元老师作为教练在昆明市的《信息技术与教材整合培训班》上为培训班的老师作培训，我校实验班的学生在教改中也表现出积极的参与态度，学生在进行课题实验的短时间内写出多篇运用图形计算器学习数学的心得体会及小论文．和数学实验报告．
自我校成为实验学校之一进行“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”以来，除上述成果外，通过实验更重要的成果与影响表现在以下几个方面：
（一）数学实验课教学模式探索
1．教学模式的提出：
高中实验教科书（信息技术整合本）中出现了大量篇幅的“数学实验”的内容，如何开展好数学实验课的教学，是中学数学教师所关注的问题．张静元通过两个数学实验教学实例，构建数学实验教学模式．论述学生参与数学实验是探究性学习的有效途径；运用现代教育技术给学生提供了更广阔探究空间；相互交流和自主学习促进了学生学习方式的转变．
2．教学模式探究
在多次数学实验中，张静元老师提出了，数学实验课的教学模式例如：
实验课题：函数
的图象和性质
实验背景：高中实验教科书（信息技术整合本）在三个地方提到关于函数“
”的数学实验，即P.58例6（函数的图像表示法），P.70（数学实验）和P.68（函数的单调性和奇偶性）函数f（x）蕴涵极大的教学价值：（1）它是一个正比例函数与一个反比例函数之和通过变量替换而得到的函数；（2）它是一个奇函数；（3）用其在（0，+∞）上的单调性可解决函数的一类最值问题，特别是“均值不等式”中等号不能取得时的最值问题；（4）当k≠0时其图像为双曲线．
实验工具：TI-92PLUS图形计算器、几何画板GPS（4.01）.
实验目的：探究函数
的图象和性质(单调性和奇偶性）
实验要求：1. 把学生分成若干组，每组4人；2.各组写出实验目的、实验方法和实验步骤；3.各组按计划开展实验4.全班交流实验结果5.撰写实验报告
实验步骤：
1.打开图形计算器，进入函数编辑功能；
2.输入函数y=
；（k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4等）
3.不断改变k的值，观察函数图象的变化规律，并记录下观察到的现象；并填写表1
4.根据观察到的现象猜想函数
的性质;(奇偶性、单调性)
5.检验猜想的正确性，并严格的数学证明.
表 1
k
(x>0)的图象
现象
k<0
⒈当x∈（-∞，0）y随x增大而增大．
⒉图象为双曲线．
⒊图象关于原点对称．
⒋x随k减小而远离原点．
k>0
⒈图象为双曲线．
⒉第一象限先减后增，第三象限先增后减．
⒊关于原点对称．
⒋k值变大，函数的最值也发生改变．
k=0
⒈y随x增大而增大．
⒉图象过原点．
⒊图象关于原点对称
实验报告
（1）实验现象记录
不断改变k值时，观察到的现象是：
随着k值的不断减小，分布在1、3象限的两条曲线逐渐靠近，当k值为正数时，图象在第一象限内“先减后增”，在第三象限内“先增后减”；当k为0时，两条曲线变为一条直线y=x,当k值为负值时，若x＞0，函数为增函数，x＜0也是增函数；在整个变化过程中，函数图象都关于原点对称．（教师用几何画板演示）
（2）猜想
猜想1：函数
为奇函数；
猜想2：当k＜0时,函数
在x＞0时单调递增,在x＜0时，也单调递增
猜想3：当k＞0时,函数
在第一象限“先减后增”,在第三象限“先增后减”
（3）证明
猜想1、猜想2，请同学证明;(略)但猜想3中的增与减的分界点难以确定．
（4）寻找函数
（k＞0）的单调区间
①打开图形计算器；
②k取不同的值，作出函数
（x＞0）的图象，并求出函数取得最小值时的x的值，填写表2；
③由表2猜想函数
（x＞0）取得最小值时x的值中所蕴涵的规律；
表 2
k
（x＞0）
取得最小值时x的值
1
1.008
2
1.344
3
1.680
4
2.016
9
3.025
16
4.033
④对猜想进行验证；
⑤证明猜想的正确性.
（5）讨论：函数
的性质
①函数
是奇函数，图象关于原点对称．
②当k<0时，x在(-∞,0)上函数为增函数,x在(0,+∞)上函数也是增函数
③当k>0时,x在(-∞,-
),(
,+∞)上函数是增函数;x在(-
,0),(0,
)上函数是减函数.若x>0,当x=
时,
=2
; x<0,当x=-
时,
=-2
.
④当k=0时,函数为y=x是一次函数(性质略)
本节课是一节探究性的实验课，其设计宗旨是想通过学生利用信息技术的实验，从原始的实验数据归纳整理，观察实验现象，从中猜想出函数的性质，在检验其是否正确，并通过严格的证明其猜想的正确性．在利用性质来解决一些实际问题和数学问题．通过实验来培养学生科学的实验方法，学会撰写数学实验报告，从而促进学生学习方式的转变．
在上述例子中，学生参与实验的过程实际上是在观察实验模拟过程中思考．当然在问题讨论环节中，部分学生仍可发挥创造性，提出自己新的“实验”设想，并上讲台进行实验操作演示或由教师择优实验． 学生实验报告展示：（附件2）
（二）信息技术对教学方式的转变
函数是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用；函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切；函数是进一步学习数学的重要基础知识；函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域．今天我们对指数函数的图形变化及其性质和有关运用作一个探究，从中更清晰地认识这一类型的函数的特点和性质，及研究函数的一般方法．课题组田文灿老师在教学中深有体会．
案例
1．情境创设――――引入
教师用信息技术演示细胞分裂情况：
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，………，
师问：1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？
生答：y = 2x （引导学生回答）
师：在这个函数里，自变量x作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量，像这样的函数，我们把它叫做指数函数．
2．探究与发现
现在我们来进一步研究指数函数y = ax (a＞0，且a≠1)的图象和性质：
（1）先来研究当底数0＜ a ＜1时的情况：
利用图形计算器画出下列函数的图象：
f (x) = 0.2x g (x) = 0.3x h (x) = 0.5x
学生很快就完成上列函数的输入，并画出了各个函数的图象（图1）
图1 图2
（2）现在研究当底数a＞1时的情况：
利用图形计算器画出下列函数的图象
q(x)=1.5x r(x)=2x s(x)=3x t(x)=4x
图3
3．拓展探究：引入参数验证
师：现在引入参变数a，大家一起来探究指数函数y = ax 的图象和性质 ．
生：动手 ………
师：教师巡视，发现部分学生不会建立参变数，不能画出相应的函数图象．教师及时给予启发和指导，最终同学们都画出了如下的函数图象（图4）．
图4
师：大家拖动a点改变a的取值，观察指数函数y = ax图象变化情况．并请你归纳总结所发现的函数图象性质．
生：……,不断改变着a的取值，相互交流着，饶有兴趣地，表露出一种兴奋的神情…
师生一起得出以下归纳总结：
一般地，指数函数y=ax图象分为两种类型：在底数a＞1 及 0＜ a ＜1 这两种情况下的图象和性质如下表所示：
点评与反思：由特殊到一般，探索发现其中的数学规律和性质，这是数学教学中一种常用的数学思想方法．学生在归纳总结指数函数的性质时，要注意提示和引导：观察分析图形──数形结合──注重“共同性”──找出“共同点”．并注意学生观察能力和语言表达能力的训练和培养．学生在归纳总结指数函数的性质时，不少学生归纳为“a＞1时是增函数，a＜1时是减函数”，出现了漏洞，应及时加以探讨，让学生自己找出漏洞所在，最后得出严格的说法．加强数学语言表达的严密性．
面对新课程，新的教学理念，教师和学生的角色都在发生着转变，不断尝试和探索新的教学方法，创新教育教学模式，是教师面临的巨大挑战．
信息技术在教学中的应用，使教学过程发生了转变──由讲解说明的进程转变为通过情景创设、问题探究、协商学习、意义建构等以学生为主体的过程．教师的角色发生了转变──由以教师为中心的讲解者转变为学生学习的指导者和活动的组织者．学生的地位发生了转变──从被动接受的地位转变为主动参与、发现、探究和知识建构的主体地位．学生的学习过程、学习方式也发生了很大转变――转变为学习方式的自主性、学习过程的交互性．信息技术在教学中的应用，一定程度上改变了传统的单调的教学方法和枯燥的教学内容，变静为动，变抽象为具体，“活化”了教学内容，使课堂教学过程更加清晰，易于突破难点、突出重点，有助于观察和理解，更好地传达教学意图．让学生学得更为轻松，并在较短的时间内完成了从观察、思考、认识、理解到实际应用的过程．提高了教学质量和教学效率．
（三）信息技术支持老师的成长
课题组长张静元老师在教学实验中中发现了差后等差数列、等比数列中的一般规律：
有一类数列从第二项起，每一项与前一项的差所组成的新数列，是一个等差数列或等比数列，如何求这一类数列的通项公式？求解的方法又不能超越中学数学的知识和内容，一般的处理用迭代相加，再求和得通项公式，还有没有其他解法？带着问题我和学生一起利用信息技术来探索数列的通项公式，巩固了等差数列、等比数列的知识，并且在信息技术的支持下画出函数图象与导数函数图象，观察函数图象，从而发现了这类数列通项公式的一般规律，提高了自己的业务水平．
案例
一、问题提出
问题：求数列 （1） 1，2，4，7，11，16，……的通项公式
（2） 1，3，7，15，31，63……的通项公式
提出问题后，有少部分反应快的学生能归纳猜想出它们的通项公式，它们有没有一般性？我们仔细观察这类数列，发现：数列从第二项起，每一项与前一项的差所组成的新数列，是一个等差数列或等比数列，能否利用等差数列、等比数列的知识来解决呢？于是学生就开始了探究：
通项公式
不妨设
，那么
与
之间有什么关系呢？观察它们的图象（图1）：
图1 图2
猜想：
的导数
的图象是
的图象向左平移
个单位所得，举例验证：
，
由迭代相加得：
那么
，
（图2）与猜想吻合，于是老师用几何画板演示变化过程：
图3
通过信息技术的支持和验证，我们发现：
的导数
的图象是
的图象向左平移
个单位所得；即
那么满足
，
的数列，则
=
那么
=
，再由
，求出c=1
结论：已知数列{
}的首项为
，
（
为常数）那么数列的通项公式为：
=
=
=
（
=
）
二、问题延伸与推广
问题延伸：
=1，
，经过迭代相加得，
设
，则
，那么
，
那么我们观察图象发现：
=
由
=1，得
推广：已知数列{
}的首项为
，
（
，c为常数）那么数列的通项公式为：
三、差后等比数列
第二个数列是
=1，
的递推数列，是一个差后等比数列；
,
,
,
,……
,把它们迭代相加得
，从而
，观察图象
，
它们是底数相同的指数型函数，可以
，从而待定系数
．
结论：已知数列{
}的首项为
，
（
为常数）那么数列的通项公式为可设为：
，从而待定系数
．
课题组刘红志老师，在一次平面向量重心坐标求法的教学中，当时提出利用初中学过的重心性质
之后，一个学生提出个想法：老师，如果D,E不是中点,都是三等分点，会有什么样的比值呢？当时只觉得这是个有趣的问题，但不知是多少，以及会不会与三角形的形状、大小有关．我就说，能不能用几何画板来探究呢？大家及时利用几何画板来实践．过一会发现，不论三角形怎么改变
也就是说象重心的性质一样，三等分点，其线段的比值具有不变的特点，于是我鼓励学生能不能运用所学知识去证明它，学生纷纷欲试，最后部分学生运用平面向量知识证明了结论的正确性．
下来我通过几何画板实践了各种分点，发现只要等分点确定，其一些线段的比值的确具有不变的特点，于是我利用平面向量知识证明了它的正确性，证明如下：
问题：
三角形中，D在BC上，E在AC，且
，
,AD与BE相交于G，（其中
）
求证：
常数，
常数
证明：设
从上述的教学中：突然产生的问题
探究问题
解决问题
反思问题的全过程，信息技术为我们提供了一个非常好的探究平台．试想，假如没有信息技术的支持，学生的突发奇想可能就会被我们的“不知道”扼杀，老师与学生也就不可能有这么一次有趣的探究过程 ．现在信息技术（几何画板）的动态变化为我们和学生猜想提供了有利的支持，不仅学生从中得到了乐趣，老师的思维也得到了深层次的提高．
四、需要进一步研究的问题
（一）课题的结题不应是研究的结束，而是更加深入研究的开始，信息技术在课堂上的使用无疑可以大大提高学生的探究和发现的能力．这一问题还有待于进一步解决．现在信息技术（几何画板）的动态变化为我们和学生猜想提供了有利的支持，不仅学生从中得到了乐趣，老师的思维也得到了深层次的提高．特别是课题组的老师都有共同的体会，那就是老师和课题一起成长．
（二）需要加强数学与其他学科教学的结合
TI手持技术在物理、化学、生物学科中也有广泛应用，目前，我校在数学学科中作了应用研究，取得了一定的成果和经验，为了使TI手持技术产品发挥更大的效益，下一步将把TI图形计算器与CBL、CBR等各种传感器结合，在物理、化学、生物学科中开展应用研究．
（三）进一步加强对学生、教师掌握信息技术的培训．
重视从初中课程中信息技术的课程设置，投入人力、物力、精力，对学生、老师的培训，从根本上做到：让学生、老师人人会图形计算器、会几何画板的操作．这为我们开展数学实验、探究数学问题提供一个良好的平台．
