赞数第一的 @南柯三境 的答案简直没眼看，什么元朝疆域包括两个斯坦和伊朗东部，忽必烈打到了多瑙河等等……估计不是专业学者的答案。
其他一些排名较前的答案写的还算凑合吧，其中@细说细说 的答案算是比较专业了。但没有一个人站出来说一句：
元朝的疆域不是固定不变的
元朝的疆域不是固定不变的
元朝的疆域不是固定不变的
很多答案里已经说明了，元朝是1271年才建立的，跟蒙古国虽然有继承关系，但不是一个东西。元朝的疆域名义上应该包括“大汗之国”和“宗藩之国”，但实际控制区域只有“大汗之国”，也就是元朝政府设置了行省、宣政院等统治机构的地区。
个别答案里也说了，疆域这个东西吧，在古代跟在今天的概念不一样，古代没有那么明确的国境线，也不会明确计算疆域有多少平方公里，那些答案里写明了元朝有1400万平方公里、2122.74万平方公里、2848万平方公里甚或3700万平方公里的答主们，我只能呵呵。
然后针对题主的问题做一点说明。题主问“忽必烈打出的巨大版图，跨越了亚非欧”是不是真的。这可能是把忽必烈和成吉思汗弄混了。当然，成吉思汗也没有跨越亚非欧，基本没有蒙古军队跨进非（一部分马穆鲁克军队的俘虏估计可能进了非），成吉思汗本人也没有跨进欧，但在题主心目中，成吉思汗大概就是所有蒙古将领的总称。所以只能说，蒙古军队攻打下来的地盘横跨欧亚，这个是真的。
回到忽必烈本人，他是没有去过欧的。元朝政府实际控制的区域也都在亚洲。
首先1271-1276年之间，元朝的疆域是不包括南宋的。因为南宋1276年才正式投降，这个理解起来没问题吧。
接下来就是一些比较复杂的变化了
西北地区因为长期和窝阔台汗国、察合台汗国打仗，所以边境从喀什到哈密之间来回伸缩。
东部对高丽的政策也比较微妙，为了打日本，在高丽设了一段时间征东行省，也派了达鲁花赤，但其他官署都是高丽国王自设，也不交税，后来征日失败，行省撤了，再后来高丽国王又求着设了征东行省，自己当达鲁花赤，到元朝后期又撤了，所以这个国境线也是很暧昧。
南边吧，为了打占城又设了安南行省，安南设了两个国王，其中一个专门负责对元朝卑躬屈膝，一会儿臣服一会儿偷袭。所以南边也是不清不楚。
看看谭图，全图都得给两张，一张前期，一张后期，最明显的就是西边差好多对不对，东边和高丽接壤处，南边和安南接壤处都不一样对不对
要问元朝疆域到底有多大，首先要厘清疆域的概念，是名义上的？实际控制的（这个实际控制的程度其实也有所不同，譬如是否驻军、是否缴税、是否中央直接派遣官署等）？还是设置了某种机构的就算疆域？
其次要说明时间点，各个皇帝统治时期疆域很可能不一样大，同一个皇帝在位时，前期后期疆域也有可能不一样大。
没有这样的前提，元朝的疆域有多大这个问题真没法回答。当然了，我本人也不是历史地理专业，即使限定了上面两个前提条件，这个问题还得交给专业学者研究上一阵子。能详细说清楚整个元朝的疆域变化情况，那是一本专著好么。老有人觉得人文学科的问题特别简单，谁都能来说两句，其实都不容易（泪）
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