容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”,了解此两种原理不仅可以提高做题效率,还可以提高自己的运算能力,扫平所有此类计算题。
一、容斥原理
在计数时,要保证无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,在不考虑重叠的情况下,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
1.容斥原理1——两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次,所以要减去。如图所示:
公式:A∪B=A+B-A∩B
总数=两个圆内的-重合部分的
【例1】一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
数学得满分人数→A,语文得满分人数→B,数学、语文都是满分人数→A∩B,至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23,共有23人至少有一门得满分。
2.容斥原理2——三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示,灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次,黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次,因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到:
公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的
【例2】某班有学生45人,每人都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人?
参加足球队→A,参加排球队→B,参加游泳队→C,足球、排球都参加的→A∩B,足球、游泳都参加的→C∩A,排球、游泳都参加的→B∩C,三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
3.用文氏图解题
文氏图又称韦恩图,能够将逻辑关系可视化的示意图。从文氏图可清晰地看出集合间的逻辑关系、重复计算的次数,最适合描述3个集合的情况。
【例3】某班有50 位同学参加期末考试,结果英文不及格的有15 人,数学不及格的有19 人,英文和数学都及格的有21 人。那么英文和数学都不及格的有( )人。
A.4 B.5 C.13 D.17
解析:如图所示,按英文及格、数学及格画2个圆圈,根据题干条件确定它们重叠。
二、抽屉原理
能利用抽屉原理来解决的问题称为抽屉问题。在行测考试数学运算中,考查抽屉原理问题时,题干通常有“至少……,才能保证……”字样。
抽屉原理1
将多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。(至少有2件物品在同一个抽屉)
抽屉原理2
将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。(至少有m+1件物品在同一个抽屉)
下面我们通过几个简单的例子来帮助理解这两个抽屉原理。
【例1】将5件物品放到3个抽屉里,要想保证任一个抽屉的物品最少,只能每个抽屉放一件,有5件物品,放了3件,还剩5-3×1=2件,这两件只能分别放入两个抽屉中,这样物品最多的抽屉中也只有2件物品中公.教育版权。
即当物品数比抽屉数多时,不管怎么放,总有一个抽屉至少有2件物品。
【例2】将10件物品放到3个抽屉里呢?将22件物品放到5个抽屉里呢?
同样,按照前面的思路,要想保证任一个抽屉的物品数都最少,那么只能先平均放。
10÷3=3……1,则先每个抽屉放3件,还剩余10-3×3=1件,随便放入一个抽屉中,则这个抽屉中的物品数为3+1=4件。
22÷5=4……2,则先每个抽屉放4件,还剩余22-4×5=2件,分别放入两个抽屉中,则这两个抽屉中的物品数为4+1=5件。
即如果物体数大于抽屉数的m倍,那么至少有一个抽屉中的物品数不少于m+1。
1.利用抽屉原理解题
一般来说,求抽屉数、抽屉中的最多有几件物品时采用抽屉原理,其解题流程如下:
(1)找出题干中物品对应的量;
(2)合理构造抽屉(简单问题中抽屉明显,找出即可);
(3)利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
【例题1】外国讲星座,中国传统讲属相。请问在任意的37个中国人中至少有几个人的属相相同?
A.3 B.4 C.5 D.6
解析: 属相有12种,看成12个抽屉,则至少有一个抽屉有不少于
2.考虑最差(最不利)情况
抽屉问题所求多为极端情况,即从最差的情况考虑。对于“一共有n个抽屉,要有(取)多少件物品,才能保证至少有一个抽屉中有m个物体”,即求物品总数时,考虑最差情况这一方法的使用非常有效。具体思路如下:
最差情况是尽量不能满足至少有一个抽屉中有m个物品,因此只能将物品均匀放入n个抽屉中。当物品总数=n×(m-1)时,每个抽屉中均有m-1个物品,此时再多1个,即可保证有1个抽屉中有m个物品。因此物品总数为n×(m-1)+1。
【例题2】从一副完整的扑克牌中,至少抽出多少张牌,才能保证至少有6张牌的花色相同?
A.21 B.22 C.23 D.24
解析:此题答案为C。一副完整的扑克牌包括大王、小王;红桃、方块、黑桃、梅花各13张。
至少抽出多少张牌→求取物品的件数,考虑最差情况中公.教育版权。
要求6张牌的花色相同,最差情况即红桃、方块、黑桃、梅花各抽出5张,再加上大王、小王,此时共取出了4×5+2=22张,此时若再取一张,则一定有一种花色的牌有6张。即至少取出23张牌,才能保证至少6张牌的花色相同。
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