牛顿-莱布尼兹公式居然失效了？！！

牛顿-莱布尼兹公式

将复杂的积分运算转换为简单高效且安全无毒的代数运算，实在是妙不可言！！！

 

不过，在使用牛顿-莱布尼兹公式之前，必须要把前提条件整明白，否则你将陷入难以察觉的谬误之中.

因此上述解法是错误的，难道是牛顿-莱布尼兹公式失效了吗？这显然不可能！那么，问题到底出在哪里呢？

让我们一起来看一下，《高等数学（同济七版）》240页的微积分基本定理.

定理(微积分基本定理)  如果函数 F(x)是连续函数 f(x)在区间 [a，b]上的一个原函数，那么

请注意定理的两个前提条件：

  ①被积函数f(x)是连续的；

  ②F(x)是f(x)的一个原函数.

让我们回到刚才的解法. 显然被积函数

是初等函数，在区间 [0，2]上是连续的，因此满足了定理的第①个前提条件，那么问题只能出在第②个前提条件上.

由于函数

在区间[0，2]中存在没有定义的点 x=1，也就是说 x=1是其不连续点.

根据可导必连续，其逆否命题即为：不连续必定不可导.  因此arctan x(x-2)/(x-1)在 x=1处是不可导的，故arctan x(x-2)/(x-1)不是函数

在[0，2]上的原函数.

你掌握牛顿-莱布尼兹公式的正确打开方式吗？