中考数学压轴题分析：等边三角形与瓜豆模型（主从动点问题）

本文内容选自2021年十堰中考数学几何压轴题。题目以等边三角形的动点为背景，涉及主从动点问题，也就是大家熟称的“瓜豆模型”。

本题为2008年金华地区中考数学压轴题改编，其实在2013年甘肃中考数学压轴题中也出现过。具体大家可以看《中考数学压轴题全解析》中垂直模型有关的章节，解法比较多样。

瓜豆原理

第4届解题大赛颁奖

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【中考真题】

（2021·十堰）已知等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连．
（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，当点、在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；
（3）如图3，若等边三角形的边长为4，点、分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度．

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【分析】

（1）根据全等进行证明即可，难度不大。

（2）根据垂直平分线的判定定理进行证明，只需连接PQ，根据条件，可以证明△PBC≌△PBD，那么就可以得到PC＝PD，BC＝BQ，即可得到结论。

（3）易得△APQ为等边三角形，已知它的面积，那么就可以确定等边三角形的边长，也就是AP的长。根据P、B在AC的异侧，需要进行分类讨论。分类讨论前需要确定点P与点Q的轨迹再进行分析。

可以发现，当点P在l上运动时，点Q的轨迹如上图所示，进而进行分类讨论即可。

【答案】解：（1）在等边中，，，
由旋转可得，，，
，
，即，
，
．
（2）在等边中，，，
由旋转可得，，，
，
，即，
，
，；
，
，，
，，
，
，
，
，即平分，
且点是的中点，即直线垂直平分线段．
（3）①当点在直线上方时，如图所示，延长交于点，过点作于点，

由题意可得，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，即，
解得或．即的长为或．
②当点在直线下方时，如图所示，设交于点，过点作于点，

由题意可得，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
在中，，
，即，
解得负值舍去）．
综上可得，的长为：或或．