本文内容选自2021年十堰中考数学几何压轴题。题目以等边三角形的动点为背景,涉及主从动点问题,也就是大家熟称的“瓜豆模型”。
本题为2008年金华地区中考数学压轴题改编,其实在2013年甘肃中考数学压轴题中也出现过。具体大家可以看《中考数学压轴题全解析》中垂直模型有关的章节,解法比较多样。
【中考真题】
(2021·十堰)已知等边三角形,过点作的垂线,点为上一动点(不与点重合),连接,把线段绕点逆时针方向旋转得到,连.
(1)如图1,直接写出线段与的数量关系;
(2)如图2,当点、在同侧且时,求证:直线垂直平分线段;
(3)如图3,若等边三角形的边长为4,点、分别位于直线异侧,且的面积等于,求线段的长度.
【分析】
(1)根据全等进行证明即可,难度不大。
(2)根据垂直平分线的判定定理进行证明,只需连接PQ,根据条件,可以证明△PBC≌△PBD,那么就可以得到PC=PD,BC=BQ,即可得到结论。
(3)易得△APQ为等边三角形,已知它的面积,那么就可以确定等边三角形的边长,也就是AP的长。根据P、B在AC的异侧,需要进行分类讨论。分类讨论前需要确定点P与点Q的轨迹再进行分析。
可以发现,当点P在l上运动时,点Q的轨迹如上图所示,进而进行分类讨论即可。
【答案】解:(1)在等边中,,,
由旋转可得,,,
,
,即,
,
.
(2)在等边中,,,
由旋转可得,,,
,
,即,
,
,;
,
,,
,,
,
,
,
,即平分,
且点是的中点,即直线垂直平分线段.
(3)①当点在直线上方时,如图所示,延长交于点,过点作于点,
由题意可得,,,
,
,
,,
,
,
,
,
,
设,则,
,
在中,,
,即,
解得或.即的长为或.
②当点在直线下方时,如图所示,设交于点,过点作于点,
由题意可得,,,
,
,
,,
,
,
,,
,
,
设,则,
,
在中,,
,即,
解得负值舍去).
综上可得,的长为:或或.
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