本讲适用于初二、初三,因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目,所以只要有课堂上基本的知识储备,都可以一起来学习,相信对你的奥数、数学思维,解题思路都大有裨益。
1. 基本知识
平行线分线段成比例定理:
一组平行线与一组直线相交,截得的对应线段成比例。
2. 基本方法
比例参数: 对于比例关系(特别是连比),设其比值为k,则可将其中部分量借助k用其他量表示。
平行线法:过一点(特别是交点)作有关直线的平行线,由此得到成比例的线段。
3. 基本问题
求线段的长(比):建立待求线段与已知线段的比例关系。
证明恒等式:将等式转化为比例式,然后利用平行线建立比例关系。
证明线段相等:将待证相等的线段分别与两条相等的线段作比,然后证明它们与同一个量相等,从而建立它们之间的比例关系。
证平行:通过线段成比例,证明有关线段平行。
这部分主要考察学生对平行线分线段成比例的了解及掌握。平行线分线段成比例是几何部分的重要应用,这部分题型种类繁多,需要一定的空间想象能力和知识基础,要在扎实的基础知识基础上,认真学习,多加练习,让我们在例题和解答中一起学习吧。
例1
分析:因为条件具有等比定理的特征,显然可以用等比定理。要注意的是,等比定理的隐含条件,进行分类讨论。
解答:
例2
如图,△ABC中,D是BC上的点,E是AC上的点,AD与BE交于F。若
AE : EC=3:4,BD : DC=2:3,求BF : FE的值。
分析:我们希望BF : FE是平行线截得的线段的比,而且条件AE : EC(或BD : DC)也是这组平行线截得的线段的比,于是可过E点作BC的平行线(过D点作AC的平行线)。
解答:
例3 (芜湖市数学竞赛题)
如图,△ABC三内角比为1 : 2 : 6,又a、b、c为角A、B、C所对之边。求证:
例4
如图,设AD为△ABC的BC边上的中线,过C作直线,与AD、AB相交于E、F,求证:
例5
如图,梯形ABCD中,AD // BC,对角线AC、BD相交于O,过点O作EF // AD,交AB于E,交CD于F. 求证:
(1)OE=OF.
(2)
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