【解题研究】（2021贵州黔东南州25）对角互补模型•角平分线•三条线段数量关系•面积

2021吉林25

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

【探究发现】

（1）如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求证：AD+AB＝AC；

【拓展迁移】

（2）如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°．

①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；

②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．

图① 

 图②

试题简析

本题主要考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、四边形面积的计算等知识，利用角平分线的性质作出辅助线构造全等是解题的关键．第一问属于特殊情况，第二问延伸到一般情况，本题的不变特征是：①对角互补，②AC平分∠BAD，解题时从这两方面入手分析转化，从而获得解题思路．

（1）由题意可得∠ACD＝∠ACB＝30°，从而有AD  ，  ．则AD+AB＝AC；

解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，

∴∠DAC＝∠BAC＝60°

∵∠ADC＝∠ABC＝90°

∴∠ACD＝∠ACB＝30°，

∴AD  ，  ．

∴AD+AB＝AC，

（2）①过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．证△CFB≌△CED，得FB＝DE，则AD+AB＝AD+FB+AF＝AD+DE+AF＝AE+AF，由（1）知：AE+AF＝AC，代入即可；

解：①AD+AB＝AC，

理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．

∵AC平分∠BAD，CE⊥AD于E，CF⊥AB，

∴CF＝CE

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠EDC+∠ADC＝180°，

∴∠FBC＝∠EDC

在△CED和△CFB中，

  ，

∴△CFB≌△CED（AAS），

∴FB＝DE，

∴AD+AB＝AD+FB+AF＝AD+DE+AF＝AE+AF，

在四边形AFCE中，由（1）题知：AE+AF＝AC，

∴AD+AB＝AC，

（2）②求一般四边形面积常转化为三角形的面积求解，本问将四边形ABCD的面积转化为S_△ACD+S_△ABC，结合①的结论可解决问题．

解：在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，

∴∠DAC＝∠BAC＝60°，

又∵AC＝10

∴CE＝AC  ，

∵CF＝CE，AD+AB＝AC，

∴        ．

解后总结

本题主要考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、四边形面积的计算等知识，利用角平分线的性质作出辅助线构造全等是解题的关键．

1.对角互补模型

（1）对角互补模型条件：①对角互补（必备条件）；②有一组邻边相等；③对角线平分一个内角，解题时常通过构造旋转型全等或构造旋转型相似处理，当具备条件①，常构造旋转型相似处理；当具备条件①②或①③时，常构造旋转型全等处理．

（2）对角互补模型转化途径

①做垂直构造全等；②延长构造全等；

2. 角平分线处理策略

角平分线除了平分角，通常是主要利用对称的观点来看待和构造全等解决问题，有时作垂线构造全等，还有“双平出等腰”，具体思路有：

思路1：利用角平分线的性质，角平分线上的点向角两边作垂线构造全等三角形；

思路2：利用“角平分线+平行”（双平出等腰）模型构造等腰三角形；（推广：知二推一）

思路3：利用“角平分线+垂直”模型（三线合一）构造等腰三角形；

思路4：遇到角平分线，构造对称图形，在角的一边上截取相等的线段构造全等三角形（典例：对角互补模型）；

思路5：（角平分线分线段成比例）三角形内角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例；若AD是△ABC的角平分线，则

；

思路6：（角平分线性质之库斯顿定理）如果AD是△ABC的角平分线，则AD²＝AB ·AC—BD ·DC （记忆方法：中方＝上积—下积）；

思路7：（双垂直三角形与角平分线组合）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AF平分∠CAB，则CE＝CF．