八年级|一道手拉手模型探究题

题目展示 

以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．

（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；

（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）；

（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是　       　．

题目分析

本题是双等线段共端点，且顶角相等，属于手拉手模型，考查全等及拉手线夹角等相关问题！

（1）由“SAS”可证△AEC≌△ABD，可得∠AEC＝∠ABD，由外角的性质可得结论；

（2）由“SAS”可证△ACG≌△ADH，可得AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，即可求解；

（3）由全等三角形的性质可得S_△ACG＝S_△ADH，EC＝BD，由面积法可求AP＝AN，由角平分线的性质可求∠AMD，即可求解．

题目解答

解：（1）∵∠EAB＝∠CAD＝α，

∴∠EAC＝∠BAD，

在△AEC和△ABD中，

  ，

∴△AEC≌△ABD（SAS），

∴∠AEC＝∠ABD，

∵∠AEC+∠EAB＝∠ABD+∠EMB，

∴∠EMB＝∠EAB＝40°；

（2）连接AG，AH，

由（1）可得：EC＝BD，∠ACE＝∠ADB，

∵G、H分别是EC、BD的中点，

∴DH＝CG，

在△ACG和△ADH中，

  ，

∴△ACG≌△ADH（SAS），

∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，

∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG﹣∠CAH＝∠DAH﹣∠CAH，

∴∠GAH＝∠DAC，

∵∠DAC＝α，

∴∠GAH＝α，

∵∠GAH+∠AHG+∠AGH＝180°，

∴∠AHG＝90°  α；

（3）∠AMC＝90°  α．

解法提示：

如图3，连接AM，过点A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于N，

∵△ACE≌△ADB，

∴S_△ACE＝S_△ADB，EC＝BD，

∵  EC×AP  BD×AN，

∴AP＝AN，

又∵AP⊥EC，AN⊥BD，

∴∠AME＝∠AMD  ，

∴∠AMC＝∠AMD+∠DMC＝90°+  α．