【解题研究】（2021吉林长春22）折叠·全等·特殊三角形·特殊角

   

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2021吉林长春22题

实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝　   　度．

操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝　  　度．

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设AM与NF的交点为点P．

     求证：△ANP≌△FNE；

（2）若AB  ，则线段AP的长为 　    　．

题目简析

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出∠EAF＝45°是解题的关键，属于中考常考题型．

逐问分析

操作一：由正方形的性质得∠BAD＝90°，再由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，即可求解；

操作二：由折叠的性质得：∠AEB＝∠AEF，∠AEF＝∠CEF，于是∠AEB＝∠AEF＝∠CEF，再利用平角，即可求解；

（1）由等腰直角三角形的性质得AN＝FN，再证∠NAP＝∠NFE＝30°，由ASA即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得AP＝FE，PN＝EN，再证∠AEB＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性质得BE  AB＝1，AE＝2BE＝2，AN  PN  a，AP＝2PN＝2a，由AN+EN＝AE得出方程，求解即可．

题目解答

操作一：

解：45；

解法提示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠C＝∠BAD＝90°，

由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，

∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF  ∠BAD＝45°，

即∠EAF＝45°；

操作二：

解：60；

解法提示：

∠AEB＝∠AEF，∠AEF＝∠CEF，

∴∠AEB＝∠AEF＝∠CEF，

∵∠AEB+∠AEF+∠CEF＝180°，

∴∠AEF＝60°；

（1）∵∠EAF＝45°，∠ANF＝∠ENF＝90°

∴△ANF是等腰直角三角形，

∴AN＝FN，

∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，

∴∠NAP＝∠NFE，

在△ANP和△FNE中，

  ，

∴△ANP≌△FNE（ASA）；

（2）2  2．

解法提示：

由（1）得：△ANP≌△FNE，

∴AP＝FE，PN＝EN，

∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，

∴∠NEF＝∠CEF＝60°，

∴∠AEB＝60°，

∵∠B＝90°，

∴∠BAE＝30°，

∴BE  AB＝1，

∴AE＝2BE＝2，

设PN＝EN＝a，

∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，

∴AN  PN  a，AP＝2PN＝2a，

∵AN+EN＝AE，

∴  a+a＝2，解得：a  1，

∴AP＝2a＝2  2．

解后反思

通过对本题的解答，我们应灵活处理题目中的折叠、并注意挖掘特殊角和全等证明方法．

1．关于折叠

处理折叠问题要把握两点：

①对应角相等、对应边相等；②对应点所连的线段被折痕垂直平分；

2．关于特殊角

特殊角的挖掘往往是解题的关键，寻找解题思路时要善于挖掘特殊角，本题涉及的特殊角有45°，60°，30°，90°等；

3．如何证全等

证明全等或构造全等是几何题很重要的内容，学习数学时要倍加重视．全等有五种判定方法，分别是SAS， ASA，AAS，SSS和HL，寻找思路时要明确已知或已证边角条件，若要证全等还需什么条件，然后结合已知、已证、图形获取的信息集中解决，另外平时的学习、备考要注意积累这方面的经验．