01每日一题|（函数系列）一次函数与直角三角形存在问题（选择题）

每日一题01

（2021·湘西州）已知点M（x，y）在第一象限，且x+y＝12，点A（10，0）在x轴上，当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为（　　）

A．（10，2），（8，4）或（6，6）       

B．（8，4），（9，3）或（5，7）      

C．（8，4），（9，3）或（10，2）      

D．（10，2），（9，3）或（7，5）

思路分析

分情况讨论：

①若O为直角顶点，则点M在y轴上，不合题意舍去；

②若A为直角顶点，则MA⊥x轴，所以点M的横坐标为10，代入y＝﹣x+12中，得y＝2，求出点M坐标为（10，2）；

③若M为直角顶点，作MB⊥x轴，可得△OMB∽△MAB，根据相似三角形的性质求出M点横坐标，进而得到M点坐标．

试题解答

解：分情况讨论：

①若O为直角顶点，则点M在y轴上，不合题意舍去；

②若A为直角顶点，则MA⊥x轴，

∴点M的横坐标为10，

把x＝10代入y＝﹣x+12中，得y＝2，

∴点M坐标为（10，2）；

③若M为直角顶点，如图，作MB⊥x轴，

则∠OBM＝∠MBA＝90°，∠OMB+∠AMB＝90°，

∵∠AMB+∠MAB＝90°，

∴∠OMB＝∠MAB，

∴△OMB∽△MAB，

∴

，

∴MB²＝OB·AB，

∴（﹣x+12）²＝x（10﹣x），

解得x＝8或9，

∴点M坐标为（8，4）或（9，3），

综上所述，当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为（10，2）、（8，4）、（9，3），

故选：C．

解后反思

直角三角形存在性问题，往往要分类讨论，一般三个角轮流当90°进行分类讨论，解答中要往往用到勾股定理、三角函数、相似等知识内容，同时要掌握“两线一圆” 寻找各种情形的辅助方法．

【速解】“两线一圆”法：过点作x轴垂线，交直线y=﹣x+12于点M，则M（10，2）,；以OA为直径作圆，交直线y＝﹣x+12于点M,设点M（x，﹣x+12），取OA的中点为E，则E(5,0),则EM＝5，于是（x﹣5）²+（﹣x+12）²＝25，解得解得x＝8或9，∴点M坐标为（8，4）或（9，3），故选：C．

【速解】设点M（x，﹣x+12），则OM²＝x²+（﹣x+12）²，MA²＝（x﹣10）²+（﹣x+12）²，OM²＝25,然后分类讨论可得x²+（﹣x+12）²+（x﹣10）²+（﹣x+12）²＝25或（x﹣10）²+（﹣x+12）²+25＝x²+（﹣x+12）²，解得x＝8或9或10，∴点M坐标为（8，4）或（9，3），故选：C．