中考数学压轴题分析：旋转与线段数量关系

本文内容选自2021年本溪中考数学几何压轴题。题目以平行四边形为背景，考查旋转的性质，进而求线段的数量关系。题（3）主要考查相似、比例得到面积关系。值得研究。

---

【中考真题】

（2021·本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°时，连接AP，若BEAB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．

---

【分析】

（1）先猜测数量关系再证明。通过测量可以发现AP与AC相等，图中又有60°，那么考虑连接CP，证明△ACP为等边三角形即可。可以发现再连接PB，可以得到△PBE为等边三角形，再证明△APB≌△CPB即可。

（2）有了前面（1）的结论，考虑连接CF，可以发现△AFC为等腰直角三角形。那么就可以得到2AF²＝AC²＝AB²+AD²。

（3）由于点E在射线AB上，因此需要进行分类讨论。分别点G在线段AB上或在AB的延长线上。

①如下图所示，可以得到△AEG与△CDG相似，进而得到面积比例关系。

②如下图所示，先求出△APE与△BPE的面积比，再求△PBE与△ADE的面积比，再①中的部分结论进行求解即可。

---

【答案】解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
由旋转知：EP＝EB，
∴△BPE是等边三角形，
∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，
∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴∠AEP＝∠CBP，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∴△APE≌△CPB（SAS），
∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，
∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，
即∠APC＝∠BPE＝60°，
∴△APC是等边三角形，
∴AP＝AC；
方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
∴PE∥BC∥AD，
∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴四边形ADQE是菱形，
∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，
∴△AEQ是等边三角形，
∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，
∵四边形BCQE是平行四边形，
∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，
∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，
∴∠AEP＝∠AQC，
∴△AEP≌△AQC（SAS），
∴AP＝AC；
（2）AB2+AD2＝2AF2，
理由：如图2，连接CF，

在▱ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∵BF⊥EP，
∴∠BFE＝90°，
∵∠BEFα∠BAD90°＝45°，
∴∠EBF＝∠BEF＝45°，
∴BF＝EF，
∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，
∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，
∴∠CBF＝∠AEF，
∴△BCF≌△EAF（SAS），
∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，
∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，
∴∠ACF＝∠CAF＝45°，
∵sin∠ACF，
∴ACAF，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+AD2＝2AF2；
（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，
∵BEAB，AB＝CD，
∴AB＝CD＝2BE，
设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，
①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，

过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，
当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，
∴GM＝GN，
∵S△ACDAD·CKa·2a·sin60°a2，
2，
∴S△CDG＝2S△ADG，
∴S△CDGS△ACDa2，
由（1）知PE∥BC，
∴∠AEH＝∠B＝60°，
∵∠H＝90°，
∴AH＝AE·sin60°a，
∴S△APEPE·AHa·aa2，
∴．
②如图4，当点E在AB延长线上时，
由①同理可得：S△CDG·S△ACD2a3aa2，
S△APEPH·AEa×3aa2，
∴，
综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．
方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEG∽△CDG，
∴（）2，，
①当点E在AB上时，
∵BEAB，
∴AE＝BEABCD，
∴（）2，
又∵，
∴，即3，
∴3，
当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，
∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，
∴△AED≌△EAP（SAS），
∴S△AED＝S△EAP，
∴··3；
②如图4，当点E在AB延长线上时，
∵BEAB，
∴AEABCD，
由①知，AD＝AECD，
∵EP＝BEAEAD，EP∥AD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（）2＝（）2，
∴··；
综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．