中考数学压轴题分析：等腰直角三角形手拉手

本文内容选自2021年通辽中考数学几何压轴题。本题以手拉手等腰直角三角形为背景，考查线段求值等问题。难度不大，但是属于经典题型。

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【中考真题】

（2021·通辽）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．

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【分析】

（1）根据SAS证明全等即可。

（2）①证明线段平方和的关系，可以考虑勾股定理。观察图形易得，连接BN可以得到直角三角形BMN，那么就可以得到MN²=BN²+BM²，进而根据等腰直角三角形的性质得到结论。

②A、M、N三点共线有两种情况，因此需要进行分类讨论。如下图，第一种情况为M在AN之间时，第二种为N在AM之间。本质上是类似的。都是通过勾股定理进行求解。

过点O作MN的垂线，然后再用勾股定理求出AM的长即可。

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【答案】（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN；

（2）①证明：连接BN，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝90°，
∴，
∵△MON都是等腰直角三角形，
∴，
∴；

②解：如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x﹣3）＝（4），
解得：x，
∴AM＝BN，

如图4，当点，M在线段AN上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴，
解得：x，
∴AM＝BN，
综上所述，线段AM的长为或．