本文内容选自2021年济南中考数学几何压轴题。以共底角顶点的两等腰直角三角形为背景,考查相似三角形的判定与性质。题目设计比较巧妙,值得研究。
【中考真题】
(2021·济南)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边BC上,BDBC,将线段DB绕点D顺时针旋转至DE,记旋转角为α,连接BE,CE,以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF,连接AF.
(1)如图1,当α=180°时,请直接写出线段AF与线段BE的数量关系;
(2)当0°<α<180°时,
①如图2,(1)中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立?请说明理由;
②如图3,当B,E,F三点共线时,连接AE,判断四边形AECF的形状,并说明理由.
【分析】
(1)先猜测再证明,观察易得存在√2倍数的关系。BC与EC分别为AC与FC的√2倍,所以结论易得。
(2)①通过观察,可以发现结论并没有发生变化。但是此时形状发生了变化,应该怎么证明呢?通过观察BE与AF所在的三角形,可以发现△BEC∽△AFC,进而得到结论即可。本质就是相似三角形的判定与性质。
②先猜测再证明。观察先猜测四边形的形状,可能是平行四边形。由于相似的关系存在,因此容易得到∠CAF=∠ACE,进而得到AF与CE平行。如果可以证明AF与CE相等即可。也就是需要证明AF=√2EF。这也是本题的难点。
过点D作BF的垂线,可以得到一组A字型的相似,再在△BDE中利用三线合一进行处理,最终得到结论。
【答案】解:(1)如图1,当α=180°时,点E在线段BC上,
∵BDBC,
∴DE=BDBC,
∴BD=DE=EC,
∵△CEF是等腰直角三角形,
∴∠CFE=∠BAC=90°,
∵∠ECF=∠BCA=45°,
∴△ABC∽△FEC,
∴,
∴,
∵BCAC,
∴,
∴,即,
∴·;
(2)①仍然成立.
理由如下:
如图2,∵△CEF是等腰直角三角形,
∴∠ECF=45°,,
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠BCA=45°,,
∴∠ECF=∠BCA,,
∴∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE,
∴∠ACF=∠BCE,
∵,
∴△CAF∽△CBE,
∴,
∴仍然成立.
②四边形AECF是平行四边形.
理由如下:
如图3,过点D作DG⊥BF于点G,
由旋转得:DE=BDBC,
∵∠BGD=∠BFC=90°,∠DBG=∠CBF,
∴△BDG∽△BCF,
∴,
∵BD=DE,DG⊥BE,
∴BG=EG,
∴BG=EG=EF,
∵EF=CF,
∴CF=BGBF,
由①知,AFBEBGCF=CE,
∵△CAF∽△CBE,
∴∠CAF=∠CBE,∠ACF=∠BCE,
∵∠CEF=∠CBE+∠BCE=45°,∠BCE+∠ACE=∠ACB=45°,
∴∠CBE=∠ACE,
∴∠CAF=∠ACE,
∴AF∥CE,
∵AF=CE,
∴四边形AECF是平行四边形.
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