本文内容选自2021年烟台中考数学几何压轴题。本题以两个共顶点的正方形为背景,考查线段的数量关系与位置关系。利用中点构造辅助线,如倍长中线等进行解决问题。
【中考真题】
(2021·烟台)有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置,点E,F分别在边AB和AD上,连接BF,DE,M是BF的中点,连接AM交DE于点N.
【观察猜想】
(1)线段DE与AM之间的数量关系是 ,位置关系是 ;
【探究证明】
(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°,点G恰好落在边AB上,如图2,其他条件不变,线段DE与AM之间的关系是否仍然成立?并说明理由.
【分析】
(1)通过观察与测量可以发现DE=BF=2AM,且DE⊥AM。
(2)虽然经过旋转,但是关系不变。因为M为BF的中点,因此可以考虑倍长AM,然后连接得到两个三角形全等。
【答案】解:(1)∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形,
∴AD=AB,AF=AE,∠DAE=∠BAF=90°,
∴△DAE≌△BAF(SAS),
∴DE=BF,∠ADE=∠ABF,
∵∠ABF+∠AFB=90°,
∴∠ADE+∠AFB=90°,
在Rt△BAF中,M是BF的中点,
∴AM=FM=BMBF,
∴DE=2AM.
∵AM=FM,
∴∠AFB=∠MAF,
又∵∠ADE+∠AFB=90°,
∴∠ADE+∠MAF=90°,
∴∠AND=180°﹣(∠ADE+∠MAF)=90°,
即AN⊥DN;
故答案为DE=2AM,DE⊥AM.
(2)仍然成立,
证明如下:延长AM至点H,使得AM=MH,连接FH,
∵M是BF的中点,
∴BM=FM,
又∵∠AMB=∠HMF,
∴△AMB≌△HMF(SAS),
∴AB=HF,∠ABM=∠HFM,
∴AB∥HF,
∴∠HFG=∠AGF,
∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形,
∴∠DAB=∠AFG=90°,AE=AF,AD=AB=FH,∠EAG=∠AGF,
∴∠EAD=∠EAG+∠DAB=∠AFG+∠AGF=∠AFG+∠HFG=∠AFH,
∴△EAD≌△AFH(SAS),
∴DE=AH,
又∵AM=MH,
∴DE=AM+MH=2AM,
∵△EAD≌△AFH,
∴∠ADE=∠FHA,
∵△AMB≌△HMF,
∴∠FHA=∠BAM,
∴∠ADE=∠BAM,
又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°,
∴∠ADE+∠DAM=90°,
∴∠AND=180°﹣(∠ADE+∠DAM)=90°,
即AN⊥DN.
故线段DE与AM之间的数量关系是DE=2AM.线段DE与AM之间的位置关系是DE⊥AM.
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