初中数学|经典几何问题：相似模型（上）

初中数学往期模型

相似模型

模型1 . A、8模型

     如图，已知：∠1=∠2

结论：△ADE∽△ABC。

分析：如图，在相似三角形的判定中，我们经常通过作平行线，从而得出A型或8型相似，在做题时，需要注意由平行线所产生的相似三角形。

例子： 如图，在△ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O。求证：

证明：

方法一：

联结DE, ∵D、E是中点，

∴DE∥BC， DE/BC=1/2。

∴△EOD∽△BOC(8字模型)。

∴OE/OC=OD/OB=1/2。

 同理，

∴OE/OC=OD/OB=OF/OA=1/2。

方法二：

过点F作FG∥AC交BD于G。

∵F是中点，

∴GF/CD=1/2, GF∥AD。

∵AD=DC, ∴GF/AD=1/2,

∵GF∥AD,

∴△GOF∽△AOD(8字模型)。

∴ GF/AD=OF/OA=1/2。

 同理，

∴OE/OC=OD/OB=OF/OA=1/2。

思考：如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F。

求证： 点F是BC的中点。

提示：联结DE交AF于G

分别考虑

△AEG∽△ABF,

△ADG∽△ACF,

△EOG∽△COF,

△DOG∽△BOF。

思考：在△ABC中，AD是角平分线，

求证：AB/AC=BD/DC。

提示：

作BG∥AC, 交AD延长线与G，

∴△ADC∽△GDB(8字模型)。

易证△ABG是等腰三角形。

模型2.  共边共角型

        已知：∠1=∠2

结论：△ACD∽△ABC。

分析：要熟记模型的结论，模型中由△ACD∽△ABC，可得AC·AC=AD·AB。

思考：如图，在Rt△ABC中，∠BAC-90°，AD⊥BC于D。

求证：(1)AD·AD=BD·DC。

          (2)AC·AC=DC·BC。

提示：△ADB∽△CDA,

         △CAB∽△CDA。

思考：已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120°。

求证：(1)AB·AB=BM·BC。

          (2)△AMB∽△ANC。

          (3)MN·MN=BM·NC。

提示：∠BAM=∠C。

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注：若思考题有疑问可以私信小修要答案！