[方法技巧]配方法在解题中的5大应用类型

方法要点：

1．将多项式或多项式的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或完全平方式与一个代数式的和的形式，这种方法称为配方法．

2．配方法主要有两种变形：

(1)添加中间项，形如：

a²＋b²＝(a∓b)²±2ab.

(2)添加平方项，形如：

a²±2ab＝(a±b)²－b².

分类练习：

类型一　利用配方法求代数式的最值

利用配方法求代数式的最值主要有两种情况：(a±b)²＋m≥m，－(a±b)²＋m≤m.　　　　　　

例1．阅读下面的解题过程：

当x为何值时，多项式x²＋2x＋5有最小值？

解：∵x²＋2x＋5＝(x²＋2x＋1)＋4＝(x＋1)²＋4，而(x＋1)²≥0，∴当x＝－1时，原多项式有最小值，这个最小值是4.

(1)模仿上述解答过程，解下列各题：

①当a为何值时，多项式a²－4a＋18有最小值？

②当a，b为何值时，多项式a²＋b²－4a＋4b＋18有最小值？并求出这个最小值．

(2)请根据上面的解题思路探求：

多项式－3x²－6x＋12的最大值是多少？并求出此时x的值．

解答：

解：(1)①∵a²－4a＋18＝(a－2)²－4＋18＝(a－2)²＋14，∴当a＝2时，多项式a²－4a＋18有最小值，最小值为14.

②∵a²＋b²－4a＋4b＋18＝(a－2)²＋(b＋2)²－4－4＋18＝(a－2)²＋(b＋2)²＋10，

∴当a＝2，b＝－2时，多项式a²＋b²－4a＋4b＋18有最小值，最小值是10.

(2)－3x²－6x＋12

＝－3(x²＋2x＋1)＋3＋12

＝－3(x＋1)²＋15，

∴多项式－3x²－6x＋12的最大值是15，此时x＝－1.

类型二　利用配方法比较两个代数式的大小

比较两个代数式的大小常用作差法，可结合配方法，利用完全平方式的非负性解决问题．

例2．已知M＝x＋2，N＝x²－x＋5，Q＝x²＋5x－19，其中x＞2.

(1)求证：M＜N；

(2)比较M与Q的大小．

拓展：

(3)设正方形的面积为S₁ cm²，长方形的面积为S₂ cm²，正方形的边长为a cm，如果长方形的一边长比正方形的边长少3 cm，另一边长为4 cm，请你比较S₁与S₂的大小，并说明理由．

解答：

解：(1)证明：∵M＝x＋2，N＝x²－x＋5，

∴N－M＝x²－x＋5－(x＋2)＝x²－2x＋3＝(x－1)²＋2.

∵(x－1)²≥0，

∴(x－1)²＋2＞0，

∴N－M＞0，

∴M＜N.

(2)Q－M＝x²＋5x－19－(x＋2)＝x²＋4x－21＝(x＋2)²－25.

①当2＜x＜3时，(x＋2)²－25＜0，∴Q＜M；②当x＝3时，(x＋2)²－25＝0，∴Q＝M；

③当x＞3时，(x＋2)²－25＞0，∴Q＞M.

(3)S₁＞S₂.

理由：S₁－S₂＝a²－4(a－3)＝a²－4a＋12＝a²－4a＋4＋8＝(a－2)²＋8.

∵(a－2)²≥0，∴(a－2)²＋8≥8，∴S₁－S₂＞0，

∴S₁＞S₂.

类型三　利用配方法求字母的值

对于含五项或六项的多项式的值为0类问题，可考虑双配方法得到两个完全平方式的和，进而利用“几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0”的性质求解．

例3．阅读下列解题过程：

已知a²＋b²＋13－4a＋6b＝0，求a，b的值．

解：∵a²＋b²＋13－4a＋6b＝0，

∴a²－4a＋4＋b²＋6b＋9＝0，

∴(a－2)²＋(b＋3)²＝0.

∵(a－2)²与(b＋3)²都是非负数，

∴a－2＝0，b＋3＝0，

解得a＝2，b＝－3.

请用以上方法，解答下列问题：

(1)已知a²＋b²＋c²－2a＋4b－6c＝－14，试求a，b，c的值；

(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a²＋b²＝12a＋8b－52，且△ABC为等腰三角形，求c的值．

解答：

解：(1)∵a²＋b²＋c²－2a＋4b－6c＝－14，

∴a²＋b²＋c²－2a＋4b－6c＋14＝0，

∴(a－1)²＋(b＋2)²＋(c－3)²＝0，

∴a－1＝0，b＋2＝0，c－3＝0，

解得a＝1，b＝－2，c＝3.

(2)a²＋b²＝12a＋8b－52，

移项，得a²－12a＋b²－8b＋52＝0，

分组，得(a²－12a＋36)＋(b²－8b＋16)＝0，

即(a－6)²＋(b－4)²＝0.

∵(a－6)²≥0，(b－4)²≥0，

∴a－6＝0，b－4＝0，

解得a＝6，b＝4.

∵△ABC为等腰三角形，

∴c＝a或c＝b，且2＜c＜10，

∴c的值为4或6.

类型四　利用配方法因式分解

例4．下面是某同学用配方法及平方差公式把多项式x²－3x－40进行因式分解的解答过程：

老师肯定了这名同学的解题思路，同时又指出在解题过程中存在错误．

(1)请你给出正确的解答过程．

(2)利用这名同学的解题思路将下列各式分解因式：

①a²－8a＋12；②a²＋4ab＋3b².

解答：

解：(1)正确的解答过程如下：

x²－3x－40

＝x²－3x＋(32)²－(32)²－40

＝(x－32)²－1694

＝(x－32＋132)(x－32－132)

＝(x＋5)(x－8)．

(2)①a²－8a＋12＝a²－8a＋16－16＋12

＝(a－4)²－2²

＝(a－4＋2)(a－4－2)

＝(a－2)(a－6)．

②a²＋4ab＋3b²

＝a²＋4ab＋(2b)²－(2b)²＋3b²

＝(a＋2b)²－b²

＝(a＋2b＋b)(a＋2b－b)

＝(a＋3b)(a＋b)．

例5．已知a，b，c为△ABC的三边长．

(1)求证：a²－b²＋c²－2ac＜0；

(2)当a²＋2b²＋c²＝2b(a＋c)时，试判断△ABC的形状．

解答：

解：(1)证明：a²－b²＋c²－2ac＝(a－c)²－b²＝(a－c＋b)(a－c－b)．

∵a，b，c为△ABC的三边长，

∴a－c＋b＞0，a－c－b＜0，

∴a²－b²＋c²－2ac＜0.

(2)由a²＋2b²＋c²＝2b(a＋c)，得

a²－2ab＋b²＋b²－2bc＋c²＝0.

配方，得(a－b)²＋(b－c)²＝0.

∵(a－b)²≥0，(b－c)²≥0，

∴a－b＝0，b－c＝0，

∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．

类型五　利用配方法化简二次根式