2021扬州市江都区数学一模17题一题多解,多解归一

一、原题呈上

这是一道融合了圆、对角互补四边形以及有一个内角为60°角的倒二填空题，经查阅得分明细，学生得分率很低，甚至于好学生也在此题上阴沟里翻了船。经与学生的交流发现，他们的注意力过多集中在如何用圆的知识去解决它。其实本题圆只是提供了圆内接四边形对角互补而已，无需用到圆的太多知识，主要是通过做垂线或平行线进行适当割补成特殊的三角形、四边形去解决

二、解法探究

思路一   构造特殊的直角三角形去解决

方法1：延长BA与CD交于点E，图解如下

通过延长BA与CD，构造出两个含有60°角的三角形。我认为这是最简单的方法。口算秒答6-2根号3

方法2：延长AD与BC交于点E，图解如下

设出待求线段，利用三角函数表达未知线段，再利用三角形函数列方程。

思路二   构造特殊的直角三角形和四边形去解决

方法3：过A、C两点分别作BC和BA的平行线交于点F，并延长CD交AF于点E。

构造出平行四边形，再利用解直角三角形的知识求解AB

方法4：过A点作BC的平行线交CD延长线于点F，作BE⊥FA延长线于点E。

构造一线三垂直模型补成一个矩形，用相似或锐角三角函数去解决

方法5：辅助线类似方法4

构造一线三垂直模型补成一个矩形，用相似或锐角三角函数去解决

方法6：过点D分别作AD、BC的平行线交AB于点E，BC于点F

构造出平行四边形+两个直角三角形

方法7：过A点作AF⊥BC于F点，再过D点作DE⊥于AF于E点

构造成矩形+两个直角三角形

方法8：过A点作AF⊥BC于F点，再过D点作DE⊥于AF于E点

构造成矩形+两个直角三角形

方法9：过C点作CE⊥BA于E点，再过D点作DF⊥于CE于F点

构造成矩形+两个直角三角形

方法10：过A点作AF⊥BC于F点，再过A点作AE⊥CD于E点

构造出一个矩形+两个直角三角形

方法11：过D点作DE∥BC交AB于E点，再过E点作EF⊥BC于F点

构造出一个矩形+两个直角三角形

方法12：过D点作DE∥BC交AB于F点，再过B点作BE⊥DF于E点

构造出一个直角梯形（矩形）+两个直角三角形

方法13：过D点作DE∥AB交BC于F点，再过B点作BE⊥DF于E点

构造出一个直角梯形（矩形）+两个直角三角形

方法14：过C点作CE∥AD交AB于E点，再过C点作CF⊥AD于F点

构造出一个直角梯形（矩形）+两个直角三角形

三、解后反思

1、特殊角60°要置入直角三角形中才会发挥作用

2、构造成特殊的三角形和四边形

3、构造的思路要么是“割”要么是“补”（K字型结构）

4、熟练运用三角函数求线段长度

5、一题多解，多解归一，最终归结为解直角三角形

四、解后困惑

待求线段是圆的一条弦，能否用圆的知识垂径定理去解决呢？请读者朋友们赐教！